Calcular el límite$ \lim_{x\to\infty}\intop_{x}^{2x}\frac{1}{t}\cos\left(\frac{1}{t^{2}}\right)dt $

Question

tengo que calcular el limite$ \lim_{x\to\infty}\intop_{x}^{2x}\frac{1}{t}\cos\left(\frac{1}{t^{2}}\right)dt $

En realidad, tengo una forma de solución, pero esta debería ser una respuesta de 60 segundos o menos (de un examen con muchas más preguntas)

Así que me pregunto si hay una manera más fácil o tendré que pensar más rápido.

Esto es lo que probé:

por$ x\to \infty $además$ t\to\infty $y$ \frac{1}{t^{2}}\to\infty $por lo que podemos tomar la expansión de Taylor de$ cos $alrededor$ 0 $:

$ \cos\left(x\right)=1-\frac{x^{2}}{2}+R_{3}\left(x\right) $de este modo:

$ \cos\left(\frac{1}{t^{2}}\right)=1-\frac{1}{2t^{4}}+R_{3}\left(\frac{1}{t^{2}}\right) $

y también$ |R_{3}\left(x\right)|=|\frac{f^{(4)}\left(x_{0}\right)}{4!}x^{4}|\leq\frac{x^{4}}{4!} $de este modo

$ |R_{3}\left(\frac{1}{t^{2}}\right)|\leq\frac{1}{4t^{8}} $

ahora:

$ \intop_{x}^{2x}\frac{1}{t}\cos\left(\frac{1}{t^{2}}\right)dt=\intop_{x}^{2x}\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{2t^{5}}+\frac{1}{t}R_{3}\left(\frac{1}{t^{2}}\right)\right)dt=\left(\ln\left(t\right)\right)_{x}^{2x}+\frac{1}{8}\left(\frac{1}{t^{4}}\right)_{x}^{2x}+\intop_{x}^{2x}\frac{1}{t}R_{3}\left(\frac{1}{t^{2}}\right)dt $

Y$ |\intop_{x}^{2x}\frac{1}{t}R_{3}\left(\frac{1}{t^{2}}\right)|\leq\intop_{x}^{2x}\frac{1}{4t^{9}}dt=\left(-\frac{1}{32}\cdot\frac{1}{t^{8}}\right)_{x}^{2x}\underset{x\to\infty}{\longrightarrow}0 $

De este modo$ \lim_{x\to\infty}\intop_{x}^{2x}\frac{1}{t}\cos\left(\frac{1}{t^{2}}\right)dt=\ln2 $

Me tomó mucho tiempo pensar en ello, si hay una forma/consejos o trucos más fáciles para hacerlo más fácil, sería realmente útil.

Gracias por adelantado

Answer 1

Hay una forma más sencilla. Si$x$es lo suficientemente grande entonces$0\leq 1-\cos (\frac 1 {t^{2}})<\epsilon$para todos$t \in (x,2x)$. Por eso$\int_x^{2x} \frac 1 t [1-\cos (\frac 1 {t^{2}})]dt<\epsilon (\ln (2x)-\ln x)=(\ln 2) \epsilon$. Por lo tanto, es suficiente encontrar el límite de$\int_x^{2x} \frac 1 t dt $cual es$\ln 2$por cálculo directo.