Cálculo de la frecuencia de las oscilaciones sobre un punto de equilibrio estable
Supongamos que tengo una partícula$m$moviéndose en una dimensión donde la función$U(x) = -Ax + Bx^2$describe la energía potencial. Estoy tratando de averiguar cómo puedo calcular la frecuencia de pequeñas oscilaciones alrededor de puntos de equilibrio estables.
En primer lugar, el equilibrio estable se produce cuando$U'(x) = -A + 2Bx=0$. Por eso$x_{eq} = \frac{A}{2B}$. Estoy tratando de modelar el sistema con movimiento armónico simple, por lo tanto$U(x_{eq}) = \frac{1}{2}kx_{eq}^2$. voy a aislar por$k$:
$$-Ax_{eq} + Bx_{eq}^2 = \frac{1}{2}kx_{eq}^2$$ $$-A + Bx_{eq} = \frac{1}{2}kx_{eq}$$ $$k = \frac{-2A + 2Bx_{eq}}{x_{eq}} \rightarrow k = -2B$$
A partir de esto, estoy aplicando la fórmula de frecuencia:$f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{2B}{m}}$. ¿Es esta una solución válida?
Respuestas
Me da un poco de vergüenza decir que no sé por qué funciona su método, pero parece dar la respuesta correcta. Estoy seguro de que el problema radica cuando igualas la energía de equilibrio a$\frac{1}{2} k x_\text{eq}^2$, pero no puedo articularlo bien.
Un método ligeramente mejor (para el potencial dado) sería completar el cuadrado . Si hace esto, verá que la energía potencial se puede escribir como
$$U(x) = B\left(x - \frac{A}{2B}\right)^2 - \frac{A^2}{4B},$$
y puedes ver fácilmente que esto es básicamente de la forma
$$U(x) = \frac{1}{2}k (x-x_\text{eq})^2 + U_0,$$
dónde$U_0$es una constante para valores dados de$A$y$B$. La adición de una energía potencial constante no cambia las ecuaciones de movimiento, por lo que este es un oscilador armónico que oscila alrededor del punto de equilibrio con una energía mínima de$U_0$, con una "constante de resorte" de$k=2B$, como usted ha encontrado.
Hasta ahora, nuestros dos métodos dan la misma respuesta. Sin embargo, si se considera el potencial$U(x) = -A x + B x^2 + C$, dónde$C$es alguna constante, verás que no están de acuerdo. Por supuesto, la constante$C$no debería cambiar la frecuencia, por lo que su método no puede ser correcto.
Hacerlo por un potencial general
Una pregunta más interesante es cómo se podría hacer esto en general . Supongamos que uno tuviera una función arbitraria$U(x)$(diga la función cúbica que he trazado a continuación) ¿cómo se podría calcular la frecuencia de pequeñas oscilaciones alrededor del mínimo?
El método es bastante agradable. (Voy a ilustrar esto con la función$U(x) = A x + B x^2 + C x^3$, aunque funciona con cualquier función).
Primero, encuentre el mínimo (local) que desea, utilizando los métodos estándar. En mi caso, es el punto$$x_0 = -\frac{2 B}{3 C}.$$
A continuación, realice una Expansión de Taylor sobre este punto de equilibrio hasta el segundo orden. La expansión sobre un punto$x_0$es así:
$$U(x) = U(x_0) + U'(x_0) (x - x_0) + \frac{U''(x_0)}{2!} (x-x_0)^2 + \text{ higher powers of } (x-x_0)\,\,...$$
Dado que se expandirá sobre un mínimo,$U'(x_0)$es cero, y$U''(x_0)>0$, así que esencialmente todo lo que necesitas hacer es encontrar la doble derivada de$U(x)$a$x_0$. Lo que esta forma significa es que muy cerca de$x_0$la función$U(x)$se comporta como una constante más un término cuadrático. En otras palabras, ¡cerca del mínimo parece la energía potencial de un oscilador armónico! (Por supuesto, esto sólo es cierto para oscilaciones muy pequeñas, es decir, cuando$x-x_0$es muy pequeño.)
El último paso es darse cuenta de que, dado que ha aproximado su función sobre$x_0$como$$U(x) = U(x_0) + \frac{1}{2}U''(x_0) (x-x_0)^2,$$
puede compararlo con un oscilador armónico ideal y ver fácilmente (como describí anteriormente) que la "constante de resorte" está dada por$$k = U''(x_0)!$$
Esto significa que muy cerca del punto$x_0$, este sistema se comporta de manera muy similar a un oscilador armónico con esta constante de resorte. En el ejemplo que he tomado, esto significa que (curiosamente)$k = 2 B$otra vez. También puedes probarlo con tu ejemplo.
Puede parecer un poco confuso de entender al principio, pero espero que esté de acuerdo en que brinda una forma muy clara de encontrar rápidamente la frecuencia de oscilación sobre cualquier mínimo de un potencial arbitrario.