Cambiar la dirección de la integración
Necesito cambiar la dirección de la integral:
$$ \int_0^1 dy \int_{0.5y^2}^{\sqrt{3-y^2}} fdx$$
Por lo que sé, primero necesito encontrar las formas:
$0.5y^2 = x$ y $\sqrt{3-y^2} =x$
La forma I es una parábola: $y^2 = 2x$
La forma II es un círculo $x^2 + y^2 = 3$ (radio de $\sqrt{3}$)
Entonces, básicamente, dibujamos flechas horizontales desde la parábola al círculo mientras mantenemos $0 \leq y \leq 1$.
Algo que se parece mucho a esta imagen:
Necesitamos dibujar líneas verticales, por lo que se ve así, pero tenemos 3 áreas:
- Donde golpeamos la parábola (rojo)
- Donde llegamos a la línea $y=1$ (verde)
- Donde golpeamos el círculo (azul)
Y entonces mi respuesta final es:
$$ \int_0^{0.5} dx \int_0^{\sqrt{2x}} fdy + \int_{0.5}^{\sqrt{2}} dx \int_0^1 fdy + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} dx \int_0^{\sqrt{3-x^2}} fdy$$
¿Estoy en lo cierto hasta ahora? Si no lo soy, ¿cómo lo soluciono? Me siento estancado porque no tengo ni idea de cómo seguir ... ¡Agradecería tu ayuda! ¡Gracias!
Respuestas
Lo que hiciste es correcto. Estás listo.
Comprobación de su trabajo, $y=1$ intersecarse $0.5y^2=x$ a $x=0.5$. (esto corresponde a la región naranja.$0.5y^2=x$ es equivalente a $y=\sqrt{2x}$ cuando $y>0$.
También, $y=1$ intersecarse $\sqrt{3-y^2}=x$ a $x=\sqrt2$. $\sqrt{3-y^2}=x$ es equivalente a $y=\sqrt{3-x^2}$ cuando $y>0$.
El límite inferior es siempre $y=0$.
También puede expresarlo de forma compacta como
$$\int_0^{\sqrt3}\, dx \int_0^{\min(\sqrt{2x}, 1, \sqrt{3-x^2})}f\, dy$$
La evaluación posterior depende del detalle de $f$. Una de las posibles motivaciones de realizar un cambio de orden de integral es que la forma de$f$ es más fácil de integrar en un orden determinado.
Observación: Dependiendo de su comunidad, algunos lo escriben como
$$\int_0^{\sqrt3} \int_0^{\min(\sqrt{2x}, 1, \sqrt{3-x^2})}f\, dy \, dx$$