Cambios de paradigma en matemáticas [cerrado]
en física hubo varias revoluciones claras o cambios de paradigma que cambiaron fundamentalmente el campo. Un ejemplo es la revolución copernicana y el cambio generalizado de la visión ptolemaica a la heliocéntrica.
Dado que las matemáticas funcionan a partir de axiomas, pensé que es poco probable que suposiciones incorrectas se introduzcan en el canon del campo. Además, durante mi educación matemática (como físico) tuve la sensación de que las matemáticas evolucionaron de manera bastante continua desde los griegos hasta la actualidad, siempre agregando nuevos conocimientos sobre los antiguos.
Por lo tanto, mi pregunta es, ¿si esto está mal y hubo ciertos cambios de paradigma o reinterpretaciones radicales de resultados anteriores en la historia de las matemáticas, o fue un crecimiento continuo del conocimiento?
Apéndice
Ya ha existido esta pregunta, que está pidiendo cambios filosóficos en las matemáticas. Sin embargo, pensé que es diferente de este, ya que trato de comprender si el cuerpo de conocimiento matemático crecía linealmente o era discontinuo en ciertos puntos.
Respuestas
Supongo que podríamos distinguir las "revoluciones" que entierran a sus muertos (por así decirlo) de los "cambios de paradigma" (donde el juego avanza y el trabajo realizado al viejo estilo no se borra pero ya no parece interesante o importante de seguir).
Supongo que alguna vez se pensó que la reelaboración del análisis sin infinitesimales en el siglo XIX fue una revolución que desplazó la falsedad / incoherencia (razón por la cual las variedades de análisis no estándar que rehabilitaron a los infinitesimales, ¡en cierto modo! y algo años después). El desarrollo de la teoría de conjuntos fue una revolución, al mostrar que era posible tener una teoría coherente (de "infinitos completos") donde antes se pensaba que solo podía haber falsedad / incoherencia.
Pero este tipo de casos son seguramente la excepción (en matemáticas al menos). Un cambio de paradigma no implica necesariamente suponer que lo que ha ocurrido antes está mal . Más bien, se introducen conceptos novedosos, se pueden plantear nuevos problemas, los nuevos enfoques llegan a ser vistos como particularmente interesantes / gratificantes; los nuevos ejemplos llegan a ser considerados como paradigmas a emular, y como el establecimiento de los estándares por los cuales se juzgan las soluciones de problemas. El desarrollo del álgebra abstracta en el último siglo, por ejemplo, parecería ser un ejemplo de paradigma de este tipo de cambio de paradigma ...!
Las matemáticas no son una disciplina axiomática. Una forma en que se abre un nuevo campo es, en general, descubriendo ejemplos que tienen algo en común y que parecen apuntar a una nueva teoría.
Tomemos, por ejemplo, la homología. Esto fue axiomatizado por Eilenberg & Steenrod. Pero si la gente no hubiera descubierto los números de Betti, si Poincaré no hubiera descubierto la homología y Noether no hubiera señalado que los números de Betti estaban mejor pensados como grupos, no habría habido algo que axiomatizar.
Hilbert dice más o menos lo mismo en su Geometría y la imaginación, donde clasifica el pensamiento deductivo, que es el pensamiento que proviene de la forma axiomática de un orden inferior al del pensamiento inductivo, que clasifica como la verdadera forma de pensamiento científico.
Personalmente, un cambio de paradigma clave para mí ha sido la introducción del pensamiento teórico de categorías en las matemáticas y también demuestra la continuidad del pensamiento. Por ejemplo, el triángulo se descubrió temprano, al agregar direcciones a los lados tenemos la ley de la adición de vectores y luego al permitir que los lados se curven podemos pensar en ellos como flechas de teoría de categorías. Esto también es revelador: podemos pensar en ellos como vectores no euclidianos y en un espacio de longitud donde entre dos puntos cualesquiera hay una geodésica única podemos elevar las geodésicas dirigidas a tal vector.