Clasificación de colectores lisos compactos de dimensión 3.

Jan 04 2021

Sé clasificación de colectores lisos compactos de dimensión 2. Son difeomorfos a una esfera con n "orejas" (suma conectada de n toros) o una esfera con m tiras de mobius (suma conectada de m planos proyectivos reales). Solo sé que la hipótesis geométrica probada por Perelman dice algo acerca de 3 variedades, pero no puedo encontrar una clasificación precisa similar a la anterior para las variedades compactas suaves de dimensión 2. ¿Existe una clasificación simple similar? Si es así, ¿podría dejar un enlace o escribirlo en un comentario?

Respuestas

3 MichaelAlbanese Jan 04 2021 at 21:41

Una variedad se llama primo si siempre que es homeomórfico a una suma conectada, uno de los dos sumandos es homeomórfico a una esfera.

En la dimensión dos, los colectores primarios cerrados son $S^2$, $\mathbb{RP}^2$y $S^1\times S^1$. Según la clasificación de superficies, cada variedad bidimensional cerrada es homeomorfa a una suma conectada de variedades primarias. En el caso orientable, los sumandos conectados son únicos hasta$S^2$ sumandos (siempre se puede conectar suma con $S^2$sin cambiar nada). En el caso no orientable, ya no tenemos unicidad como$(S^1\times S^1)\#\mathbb{RP}^2$ es homeomorfo a $\mathbb{RP}^2\#\mathbb{RP}^2\#\mathbb{RP}^2$. Sin embargo, se puede recuperar la unicidad (hasta sumandos esféricos) si se prohíbe el uso de$S^1\times S^1$ sumandos.

Existe una historia similar para tres variedades cerradas. El teorema de la descomposición prima para tres variedades establece que cada tres variedades cerradas es homeomorfa a una suma conectada de variedades primas. Si es el caso orientable, los sumandos conectados son únicos hasta$S^3$sumandos. Si$M$ es no orientable, entonces la unicidad ya no se mantiene, sin embargo, uno puede recuperar la unicidad prohibiendo el uso de $S^2\times S^1$ como uno de los sumandos conectados.

La diferencia clave entre las dimensiones dos y tres es que hay infinitas variedades de tres primos. En el caso orientable, se encuadran en tres categorías:

  1. esos colectores cubiertos por $S^3$,
  2. el colector $S^2\times S^1$y
  3. colectores asféricos orientables.

Estas categorías también se pueden caracterizar a través del grupo fundamental: a saber, finito, cíclico infinito e infinito no cíclico, respectivamente.

En el caso no orientable, sin embargo, hay demasiadas variedades primarias para admitir una clasificación; vea la respuesta a esta pregunta mía.

En la dimensión cuatro, ya no tenemos unicidad, incluso en el caso orientable. Por ejemplo,$(S^2\times S^2)\#\overline{\mathbb{CP}^2}$ es homeomorfo a $\mathbb{CP}^2\#\overline{\mathbb{CP}^2}\#\overline{\mathbb{CP}^2}$. Tenga en cuenta la similitud con el hecho de que$(S^1\times S^1)\#\mathbb{RP}^2$ es homeomorfo a $\mathbb{RP}^2\#\mathbb{RP}^2\#\mathbb{RP}^2$.