Cómo calcular el producto en taza de los límites derivados / cohomología previa a la gavilla
Tengo una categoría finita $\mathcal{C}$, junto con un functor $F \colon \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{GradedCommRings}$. Si$F_j$ es $j$-ésima pieza calificada de $F$, luego escribo $H^i(\mathcal{C},F_j)$ Para el $i$-ésimo límite inverso derivado del diagrama $\mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Ab}$de grupos abelianos. De manera equivalente, es el$i$-th gavilla cohomología de la gavilla $F_j$, donde yo miro $\mathcal{C}$ como el sitio con topología de Grothendieck trivial.
He calculado los diversos $H^i(\mathcal{C},F_j)$. Al ensamblarlos, debe haber una estructura de producto de taza$H^i(\mathcal{C},F_j) \otimes H^{i'}(\mathcal{C},F_{j'}) \to H^{i+i'}(\mathcal{C},F_{j + j'})$. Me gustaría calcular la estructura de este producto.
El único método que conozco es a través de la cohomología de gavilla, que involucra resoluciones explícitas, productos tensoriales y complejos totales (ver [1]). Desafortunadamente, no tengo una resolución explícita de$F$ o $F \otimes F$: parece demasiado complicado de hacer a mano, especialmente porque mi $F(c)$normalmente se generan infinitamente. (En mi cálculo de$H^i(\mathcal{C},F_j)$ Eludí esto usando secuencias espectrales, pero estas oscurecen la estructura del producto).
Me llevan a las siguientes preguntas:
- ¿Alguien conoce un método más eficiente para calcular los productos de copa de cohomología previa a la gavilla / límites derivados?
- Si no es así, ¿hay algún software de computadora que pueda hacerse cargo de algunas de las tareas descritas anteriormente?
[1]: RD Swan. Productos de copa en cohomología de gavilla, inyectables puros y sustituto de resoluciones proyectivas.
Respuestas
Los productos de copa en cohomología de gavilla (y pregacha) a menudo son fáciles de calcular resolviendo la fuente (en la estructura del modelo proyectivo, por ejemplo), no el objetivo. Para ver un ejemplo de cómo resolver la fuente de esta manera, consulte el producto de emparejamiento, hipercohomología y taza de Yoneda
En el caso en consideración, se puede equipar la categoría de pretensiones de complejos de cadenas en C con una estructura de modelo proyectivo. Este último tiene un functor de reemplazo cofibrante explícito, que se puede usar para escribir una resolución proyectiva explícita. El functor de reemplazo de cofibrante es precisamente la construcción de barra clásica aplicada a la adjunción entre prehechas de complejos de cadena en complejos de cadena indexados con C y Ob (C).