¿Cómo cambiar filas en la matriz L al descomponer la matriz A en PA = LU?
Encuentra la matriz de permutación $P$, la matriz triangular inferior $L$ y la matriz triangular superior $U$ tal que $$ PA=LU $$ Dado $$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ -2 & -3 & -4 & -5 & -6 & -7 \\ 3 & 7 & 11 & 16 & 21 & 27 \\ -4 & -5 & -5 & -5 & -5 & -5 \end{pmatrix}$$
Llegué tan lejos
$$ U = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$$ y $$ L= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 1 & 0 \\ -4 & 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ El último paso que tengo que hacer es cambiar la cuarta fila con la tercera, pero no sé exactamente cómo cambiar las entradas en la matriz triangular inferior L. ¿Alguien puede explicar qué tengo que cambiar exactamente en L?
Respuestas
Respuesta larga: piense en el resultado de la eliminación directa como una ecuación matricial de la forma$U=E_r P_r E_{r-1} P_{r-1} \dots E_1 P_1 A$ dónde $E_i$ son matrices de "eliminación" (borrando la columna debajo del $i$th pivote de la forma habitual) y $P_i$ son matrices de permutación que mueven el $i$th pivote en el $i$la fila o la identidad (si no hizo un intercambio en ese paso). Las matrices de eliminación son triangulares inferiores y permanecen así cuando se multiplican. Pero cuando se incluyen las matrices de permutación, dejan de ser triangulares inferiores.
Entonces ahora generalmente desea invertir ese producto de $E_i P_i$ aislar $A$. Si los mantiene todos juntos, la inversa no será triangular inferior, que en$PA=LU$quieres que sea. Entonces, lo que haces es reescribir el producto$E_r P_r \dots E_1 P_1$, de modo que todas las matrices de permutación están a la derecha y todas las matrices de eliminación están a la izquierda. Para hacer eso, basta con averiguar cómo escribir$PE$ como $E' P'$.
Esto se puede hacer con $P'=P$ y $E'=P E P^{-1} = P E P^T$, como es fácil de comprobar: $E' P'=P E P^{-1} P=PE$. Esta$E'$ tomar esta forma es un ejemplo de una situación común en álgebra, donde la conjugación se usa para aplicar una operación "en el contexto" de otra operación invertible que ya se ha aplicado.
Al hacerlo una y otra vez, puede mover todas las matrices de permutación hacia la derecha. El resultado se ve así:
$$U=E_r (P_r E_{r-1}^T P_r^T) \cdot ((P_r P_{r-1}) E_{r-2} (P_r P_{r-1})^T) \cdot \dots \cdot ((P_r \dots P_2) E_1 (P_r \dots P_2)^T) \\ \cdot P_r \cdot \dots \cdot P_1 \cdot A.$$
Y ahora
$$L^{-1}=E_r (P_r E_{r-1} P_r^T) \cdot ((P_r P_{r-1}) E_{r-2} (P_r P_{r-1})^T) \cdot \dots \cdot ((P_r \dots P_2) E_1 (P_r \dots P_2)^T)$$
¿Qué significa esto en pocas palabras? Significa que para obtener el$L^{-1}$, tienes que mover las entradas no triviales en tu "calculado $L^{-1}$"basado en todos los cambios de fila que hizo después de que se calcularon esas entradas.$L^{-1}$ al final todavía funciona igual (simplemente voltee el signo en las entradas no triviales).
Así, en su ejemplo, el efecto de intercambiar filas $3$ y $4$ es que tu actualizas $L$ intercambiando los roles de los índices $3$ y $4$, Resultando en:
$$L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 & 0 \\ -4 & 3 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$
Tenga en cuenta que esto no es lo mismo que simplemente intercambiar filas$3$ con fila $4$.
Después de eso, ha terminado, en este ejemplo en particular, pero si no lo estuviera, entonces no cambiaría$3$ con $4$ en los pasos siguientes.
Respuesta corta: su matriz final$P$logra todos los intercambios de filas que hiciste. Llegar$L$, cada vez que haga un intercambio de filas que se lograría multiplicando a la izquierda por una matriz de permutación $P$, reemplazas tu actual $L$ con $P L P^T$, lo que significa que realiza esa permutación tanto en las filas como en las columnas de su $L$ (pero no en la final $L$).
Usando la reducción de filas, llegamos a
$$U = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$$
Como enfoque alternativo a la excelente redacción de @Ian (+1), podría haber invertido los pasos de reducción de filas, incluido el intercambio, como $$A = E_1^{-1}E_2^{-1}E_3^{-1}E_4^{-1}U$$
Esto resulta en
$$L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 &0 & 1 \\ -4 & 3 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$
Vemos eso $L$ no es triangular inferior y solo necesitamos intercambiar las filas tres y cuatro, lo que da como resultado
$$L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 & 0 \\ -4 & 3 & 1 & 0 \\3 & 1 &0 & 1\end{pmatrix}$$
Ese intercambio requiere una matriz de permutación
$$P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 &0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 &0\end{pmatrix}$$
Ahora podemos verificar
$$PA = LU$$
También puedes verificar que $$A = PLU = P^T LU = P^{-1} LU$$
Consulte, por ejemplo, ¿Cómo se puede utilizar la factorización LU en una matriz no cuadrada?