Cómo comprender intuitivamente el $n$-cubo dimensional a medida que la dimensión crece [duplicado]

Question

Entonces leí ^* que para el cuerpo convexo, es decir, el cubo$[-1,1]^n$ en $\mathbb{R}^n$, la bola más pequeña que lo contiene tiene un radio$\sqrt{n}$, mientras que la bola más grande dentro del cubo tiene un radio$1$.

También,

"... a medida que crece la dimensión, el cubo se parece cada vez menos a una bola".

¿Cómo visualizo estas cosas cuando $n\geq 4$? ¡No puedo verlo!

Sería genial si pudiera obtener ayuda con la intuición involucrada aquí. ¡Gracias!

^* Consulte la página 2 de

Keith Ball, "Una introducción elemental a la geometría convexa moderna" en Flavors of Geometry , Ed. Silvio Levy, Cambridge 1997.

Editar: Si bien las respuestas sugeridas son muy buenas, no creo que aborden la estructura geométrica particular que me preocupa en mi pregunta.

Answer 1

¿Qué te hace pensar que podemos visualizar cubos y esferas superiores? Xa$n=4$ puede jugar juegos como usar algún tipo de control deslizante de tiempo para dibujar la intersección de su objeto con el $xyz$-hiperplano, pero para $n>4$ ese tipo de trucos dejará de estar disponible muy rápidamente.

La intuición detrás de hechos como los que cita, no es intuición sino computación . En cierto sentido, las matemáticas se basan en nuestra intuición para el espacio de 2, 3 o tal vez incluso de 4 dimensiones, con lo que quiero decir que la mayoría de las definiciones imitan algo en estos mundos de baja dimensión. Sin embargo, las definiciones son mucho más generales en la forma en que la dimensión no es esencial, por lo que también podríamos intentar averiguar qué hacen en dimensiones superiores (pensando en las variedades). Es una lástima que no podamos ver lo que está sucediendo allí, porque seguro que las cosas comienzan a fallar. Los colectores se vuelven inamovibles o tienen múltiples estructuras lisas distintas, los resultados de clasificación son imposibles de obtener y las esferas se vuelven puntiagudas y computacionalmente comienzan a verse y comportarse de manera bastante extraña. Para dar un ejemplo: la conjetura de Poincaré fue uno de los problemas del milenio (es decir, estaba en el mismo nivel de dificultad que la hipótesis de Riemann o$P$ vs $NP$) y estaba sobre $3$-esferas. La geometría superior es difícil .

Por otro lado, esto es lo más divertido de las matemáticas abstractas. Las definiciones intuitivas derivadas de una pequeña colección de ejemplos pronto resultan tener instancias más exóticas pero interesantes, lo que hace que la definición sea aún más interesante y digna de estudio.