¿Cómo define esta definición un símbolo? $P$ fuera del conjunto de símbolos $S$ como un $S$-¿frase?
En p126 en §3. Extensiones por definiciones en VIII Interpretaciones sintácticas y formas normales en la lógica matemática de Ebbinghaus :$S$ es un conjunto de símbolos (no lógicos)
3.1 Definición. Dejar$\Phi$ ser un conjunto de $S$-frases.
(a) Suponga $P \notin S$ es un $n$-símbolo de relación y $\phi_P(v_0, ... , v_{n-1})$ un $S$-fórmula. Entonces decimos que$$ \forall v_0, .... \forall v_{n-1} \quad (P v_0 ... n_{n-1} \leftrightarrow \phi_P(v_0, ... , v_{n-1})) $$ es un $S$-definicion de $P$ en $\Phi$.
Como es $ \forall v_0, .... \forall v_{n-1} \quad (P v_0 ... n_{n-1} \leftrightarrow \phi_P(v_0, ... , v_{n-1})) $ una $S$-senta o incluso una $S$-¿fórmula?
$P v_0 ... n_{n-1}$ está en el lado izquierdo de $\leftrightarrow$. ¿Eso supone$P v_0 ... n_{n-1}$ ser un $S$-¿fórmula? Pero$P \notin S$, entonces como puede $P v_0 ... n_{n-1}$ ser un $S$-¿fórmula?
Gracias.
Respuestas
Para ahorrar algo de escritura, dejemos $\sigma$ representar $\forall v_0, \ldots, \forall v_{n-1} (Pv_0, \ldots, v_{n-1} \leftrightarrow \phi_P(v_0, \ldots, v_{n-1}))$.
Tienes razón en eso $\sigma$ no es un $S$-fórmula, porque $\sigma$ involucra el símbolo $P$, que no está en $S$. Por otra parte,$\sigma$ es un $(S \cup \{P\})$-frase. Ese es el punto aquí:$\sigma$ te está diciendo que el símbolo $P$, que no está en $S$, es equivalente a un $S$-fórmula. La terminología "$S$-definición "se refiere al hecho de que $\sigma$ define $P$ en términos de $S$, no significa que $\sigma$ en sí mismo es un $S$-frase.