Cómo demostrar eso $a_{n+1} = \sqrt{12+4a_n}$ está delimitado por la parte superior?
Estoy tratando de probar que la secuencia dada por la relación recursiva $a_{n+1} = \sqrt{12+4a_n}$ es convergente, $a_1 = 1$.
Me las arreglé para demostrar mediante inducción que la secuencia aumenta estrictamente .
Estoy usando el teorema que establece que
Si una secuencia es monótona y acotada, entonces es convergente.
Por lo tanto, ahora debo demostrar que existe un límite superior
Mi intento
Usaré la inducción nuevamente.
- por $n = 1: a_1 = 5 < M\in\mathbb{R}$
- por $n = k: a_k < M\in\mathbb{R}$
- por $n = k+1: a_{k+1} = \sqrt{12+4a_k} = 2\sqrt{3+a_k} < M \iff a_k < \frac{M^2}{2} -3 < \frac{M^2}{2} < M^2 $
He demostrado eso $a_{k+1}$ es menos que $M^2$ mientras que en el paso de inducción dije que $a_{k+1}$ es menos que $M$. El cuadrado me confunde un poco, y no estoy seguro de si de hecho probé el límite aquí, por lo que hago esta pregunta
Respuestas
Tenga en cuenta que $a_{k+1}=2 \sqrt{3+a_{k}}<M \iff a_{k}<\frac{M^2}{4}-3$. Entonces podrías hacer$M=\frac{M^2}{4}-3$ que de hecho da $M=6$ como solución.
La forma de abordar este tipo de problemas suele ser la siguiente.
Imagina que ya has probado que la secuencia converge ... así que $\lim_{n\to\infty}a_n=a\in\mathbb R$. ¿No le interesaría encontrar lo que$a$? La forma de hacerlo es: en la ecuación$a_{n+1}=\sqrt{12+4a_n}$ calcula los límites del lado izquierdo y derecho cuando $n\to\infty$. Usted obtiene:
$$a=\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\sqrt{12+4a_n}=\sqrt{12+\lim_{n\to\infty}a_n}=\sqrt{12+4a}$$
entonces $a=\sqrt{12+4a}$ lo que implica $a=6$.
Entonces, lo que ha probado es que, si $a_n$ converge, tiene que converger para $6$y ningún otro número. También sabes que converge (¡ya que no se te pediría que lo probaras si no fuera así!), Así que sabiendo que está aumentando monótonamente, inmediatamente ves que$a_n\lt 6$, acercándose $6$ "desde abajo", y en realidad $6=\sup\{a_n:n\in\mathbb N\}$.
Por lo tanto, tal vez valga la pena intentar olvidar todo lo que dijimos hasta este punto y demostrar que$a_n\lt 6$, lo que significará inmediatamente que su secuencia aumenta monótonamente y está acotada, por lo tanto, convergente.
Y, de hecho (prueba por inducción), $a_1=5\lt 6$ y si $a_n\lt 6$, luego $a_{n+1}=\sqrt{12+4a_n}\lt\sqrt{12+4\cdot 6}=6$.
Sugerencia: demuestre por inducción que $a_n \leq 6$ para todos $n$.