Cómo demostrar que la suma de 2 distribuciones gaussianas es también una distribución gaussiana usando la función característica [duplicar]

Question

Sean X e Y dos $ \mathcal{N}(0, 1) $distribuciones. Tengo que demostrar eso por$(a,b)\in \mathbb{R}^2 $, $ aX + bY $ es igual a $\mathcal{N}(0, a^2 + b^2)$.

Estoy tratando de hacer esto usando la función característica de una distribución gaussiana. $$ \phi_{aX + bY}(t) = \int_{\mathbb{R}}{ \mathbb{e}^{it(ax+by)}{\frac{1}{2} \mathbb{e}^{-\frac{x^2}{2}}} dx} $$

Realmente no sé qué hacer, ya que al cambiar la variable no puedo reemplazar tanto x como y. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Dejar $Z=aX+bY$. La función característica de$Z$ es:

$\phi_Z(t)=E\{e^{itZ}\}=E\{e^{it(aX+bY)}\}=E\{e^{i(at)X}e^{i(bt)Y)}\}$

EDITAR (Error descuidado ...) Si X e Y son independientes:

$\phi_Z(t)=E\{e^{i(at)X}\}E\{e^{i(bt)Y)}\}=\phi (at) \phi (bt)$,

dónde $\phi(w)=e^{-\frac{w^2}{2}}$es la función característica de la distribución normal. Entonces,

$\phi_Z(t)=e^{-\frac{1}{2}(at)^2}e^{-\frac{1}{2}(bt)^2}=e^{-\frac{1}{2}(a^2+b^2)t^2}$,

que es la función característica de la distribución normal $\mathcal{N}(0,a^2+b^2)$.