Cómo encontrar el número de funciones polinomiales distintas de $\mathbb{Z}_2$ a $\mathbb{Z}_2$? [duplicar]

Question

Para cualquier entero positivo $n$, cuantos polinomios hay de grado $n$ encima $\mathbb{Z}_2$? ¿Cuántos polinomios distintos funcionan a partir de$\mathbb{Z}_2$ a $\mathbb{Z}_2$?

Intento: la primera parte me queda clara ya que hay $2$ opciones para cada coeficiente y hay $n$ coeficiente por lo que hay $2^n$tales polinomios. Tengo problemas para entender la segunda parte donde necesito encontrar distintas funciones polinomiales.

Si asumo $p(x)$ y $p'(x)$ son dos funciones polinomiales iguales sobre $\mathbb{Z}_2$ tal que $p(x)=a_nx^n+\cdots+a_0$ y $p'(x)=a'_nx^n+\cdots+a'_0$, luego $p'(x)=p(x)$ para $x=0,1$. Entonces$a'_0=a_0$. Y dado que el grado de estos polinomios es$n$ luego $a_n=a'_n=1$. Entonces, para encontrar funciones polinomiales distintas, debemos considerar cuándo$p(x)$ no puede ser igual a $p'(x)$ por cada valor de $x\in\{0,1\}$. Desde aquí no puedo continuar. Buscaba soluciones. En todas partes veo que han comenzado la discusión con el hecho de que solo hay$4$tales polinomios y luego dan los ejemplos de tales polinomios. Necesito ayuda para comprender este problema. Gracias

Answer 1

Solo hay 4 funciones distintas $f: \Bbb Z_2 \to \Bbb Z_2$. Esto se debe a que la cardinalidad del conjunto de funciones$A \to B$ es $$|B^A|=|B|^{|A|}$$ cuando $A,B$ son conjuntos finitos.

Sucede que son funciones polinomiales. De hecho ellos son$$f_1(x)=0$$ $$f_2(x)=1$$ $$f_3(x)=x$$ $$f_4(x)=1-x$$ Así que los hemos encontrado todos.

Answer 2

Encima $\Bbb{Z}_2$, el polinomio $x(x+1) = x^2 + x$ es idénticamente $0$, lo que significa que puedo reemplazar $x^2$ con $x$en cualquier expresión polinomial y obtenga el mismo valor. Usando esto repetidamente, más$\Bbb{Z}_2$, el polinomio $$a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n$$ siempre da el mismo valor que el polinomio $$a_0 + (a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n)x,$$ y entonces solo hay $4$ polinomios distinguibles sobre $\Bbb{Z}_2$, dependiendo de si $a_0 = 0$ o $1$, y si $a_1 + a_2 + a_3 + ... +a_n = 0$ o $1$.

Answer 3

La respuesta a su primera pregunta debe ser $2^{n-1}$ más bien que $2^{n}$ ya que el coeficiente de $x^n$ es siempre $1$.

Para la segunda parte, tenga en cuenta que el conjunto de todas las funciones polinomiales es el conjunto de todas las funciones en su caso.

EDITAR: A señaló en el comentario que la primera parte de esta respuesta es incorrecta.