Cómo encontrar el orden del grupo de movimientos rígidos de sólidos platónicos en $\mathbb{R}^3$?
Los siguientes aparecen como ejercicios en Álgebra de Dummit y Foote (Sección $1.2$ - Grupos diédricos):
- Dejar $G$ ser el grupo de movimientos rígidos en $\mathbb{R}^3$de un tetraedro. Muestra esa$|G| = 12$
- Dejar $G$ ser el grupo de movimientos rígidos en $\mathbb{R}^3$de un cubo. Muestra esa$|G| = 24$
- Dejar $G$ ser el grupo de movimientos rígidos en $\mathbb{R}^3$de un octaedro. Muestra esa$|G| = 24$
- Dejar $G$ ser el grupo de movimientos rígidos en $\mathbb{R}^3$de un dodecaedro. Muestra esa$|G| = 60$
- Dejar $G$ ser el grupo de movimientos rígidos en $\mathbb{R}^3$de un icosaedro. Muestra esa$|G| = 60$
De esta respuesta pensé que los movimientos rígidos son isometrías que preservan la orientación, es decir, no se permiten reflejos.
Entonces, para un tetraedro, pensé en ejes de simetría que pasan por un vértice y el centroide de la cara opuesta. Hay cuatro de estos ejes (llamémoslos$A,B,C,D$). A lo largo de cada eje, podemos definir$1_i, r_i, r_i^2$ como tres rotaciones con $r_i^3= 1$, el elemento de identidad ($i=A,B,C,D$). Dado que hay cuatro de estos ejes,$|G| = 3\times 4 = 12$. ¿Está bien o me falta algo? Me preocupa un poco el hecho de que$1_A,1_B,1_C,1_D$ ¿Es posible que todos sean iguales (ya que son transformaciones de identidad) y que estoy contando en exceso?
Pregunta menor (desvío): ¿Son las transformaciones de identidad correspondientes a diferentes ejes diferentes o iguales?
Para el cubo, hice lo siguiente:
- Por cada par de caras opuestas, tenemos un eje de simetría. Existen$3$ tales pares, por lo tanto $3$ tales ejes (digamos $A,B,C,D$). Sobre cada eje que definimos$1,r_i,r_i^2,r_i^3$ con $r_i^4 = 1$ dónde $i=A,B,C,D$.
- Hay cuatro diagonales corporales (digamos $E,F,G,H$), y sobre cada diagonal (eje de simetría) definimos $1,r_j,r_j^2$ con $r_j^3= 1$ dónde $j=E,F,G,H$.
En vista de los cálculos anteriores, tenemos $|G| = 3\times 4 + 4\times 3 = 24$.
El uso de este método se vuelve difícil de aquí en adelante , para sólidos más grandes. No es fácil identificar todos los ejes de simetría a mano. Además, el único grupo del que he aprendido con cierto detalle en este momento es$D_{2n}$, así que no proporcione soluciones como "el grupo requerido$G$ es isomorfo a un grupo conocido y bien estudiado $X$y sabemos $|X| = ?$ entonces $|G| = ?$"
Creo que se reduce a tener una buena forma de contar todos los distintos movimientos rígidos. ¿Podría alguien ayudarme con esto?
Me encontré con las soluciones de James Ha aquí , pero no entiendo cómo las soluciones presentadas en el PDF son equivalentes a las mías, incluso para los casos de tetraedro y cubo. ¡Sería bueno si alguien me pudiera ayudar a ver la equivalencia y también me dijera cómo proceder con los otros sólidos platónicos! ¡Muchas gracias!
Respuestas
Para agregar algo de elaboración a las respuestas existentes y comentarios adicionales:
Como menciona orangeskid, puede inferir el tamaño del grupo de simetría a partir del número de transformaciones entre dos aristas. Aquí hay una forma de ver esto con mayor claridad:
Considere las aristas dirigidas en el poliedro, que constan de un vértice y una arista que emana de ese vértice (o de manera equivalente, una arista con uno de sus puntos finales distinguido). Si tenemos$e$ bordes, entonces tenemos $2e$de estos bordes dirigidos. Debido a que estamos usando sólidos platónicos, cada uno de estos se puede llevar a cualquier otro (esto se desprende con bastante facilidad de la mayoría de las definiciones de los sólidos platónicos, pero debería ser bastante intuitivo).
Pero una vez que sabemos que un borde dirigido $(v_1,e_1)$ va a otro borde dirigido $(v_2,e_2)$, hemos especificado completamente la rotación: una vez que nos movemos $v_1$ a $v_2$, hemos restringido las posibles rotaciones a un solo eje alrededor del cual las cosas pueden girar (ya que tenemos un punto que ahora está inmóvil), y solo una de esas formas de girarlo se moverá $e_1$ a $e_2$.
En particular, esto significa que una rotación se especifica unívocamente por dónde toma un solo borde dirigido; ya que cada uno de los$2e$ posibilidades da una rotación única, debe haber $2e$ posibles rotaciones totales.
(Si permitimos transformaciones con inversión de orientación, hay el doble; por cada forma de llevar un borde dirigido a otro, obtenemos una segunda transformación que fija ese borde dirigido al reflexionar sobre él).
En cuanto a las transformaciones de identidad que fijan un eje, todas son la misma transformación de identidad; dejan la forma sin cambios.
Para explicar más claramente los tipos de rotaciones (que conservan la orientación) posibles para cada posible sólido platónico:
Para cada sólido platónico, las posibles rotaciones son una rotación no trivial alrededor de un vértice, una $180^\circ$ rotación alrededor de un borde, una rotación no trivial alrededor de una cara o la transformación de identidad.
Para el tetraedro, las caras son vértices opuestos, por lo que hay $4\cdot (3-1)$ rotaciones no triviales de vértice / cara, $1$ identidad, y $3$ volteretas de borde$6$ bordes, pero dos usados por vuelta), para un total de $12$.
Para el cubo, hay $8\cdot (3-1)/2$ rotaciones de vértices, $6\cdot(4-1)/2$ rotaciones de caras, $12/2$ volteretas de borde, y $1$ identidad, para un total de $24$.
Para el octaedro, hay $6\cdot(4-1)/2$ rotaciones de vértices, $8\cdot (3-1)/2$ rotaciones de caras, $12/2$ volteretas de borde, y $1$ identidad, para un total de $24$.
Para el dodecaedro, hay $20\cdot(3-1)/2$ rotaciones de vértices, $12\cdot(5-1)/2$ rotaciones de caras, $30/2$ volteretas de borde, y $1$ identidad, para un total de $60$.
Para el icosaedro, hay $12\cdot(5-1)/2$ rotaciones de vértices, $20\cdot(3-1)/2$ rotaciones de caras, $30/2$ volteretas de borde, y $1$ identidad, para un total de $60$.
No hay sustituto para cortar cuatro triángulos equiláteros iguales de cartón y pegarlos con cinta adhesiva para hacer un tetraedro. Una vez que haya hecho esto, coloque la yema de un dedo en el centro de un borde y otro en el centro del borde opuesto. Luego, gira el tetraedro sobre el eje que une las yemas de tus dedos. Deberías encontrar que un$180^\circ$la rotación devuelve el tetraedro a sí mismo. En mi experiencia, esto es difícil de visualizar hasta que lo hayas hecho físicamente.
Hay tres pares de bordes opuestos y, por tanto, tres $180^\circ$rotaciones. Estos, junto con la identidad y ocho rotaciones de$\pm120^\circ$ sobre varios ejes que unen el centroide de una cara al vértice opuesto explican todas las simetrías rotacionales del tetraedro.
Los otros sólidos platónicos tienen similares $180^\circ$rotaciones. Pero si solo quiere un recuento, puede hacer algo más simple. Comience con una cara del sólido frente a usted con orientación fija (digamos un borde horizontal). Si es un$m$-cara cara, hay $m$ bordes que pueden ser el horizontal, y estos $m$todas las orientaciones pueden obtenerse unas de otras girando alrededor del centro de la cara. Ahora si el solido tiene$f$ caras, cualquiera de las $f$se puede llevar a la posición "frente a usted" mediante una rotación. Entonces debería haber$mf$simetrías rotacionales. Esto explica todo.
La respuesta de orangeskid es similar, pero incluso más simple, que esta. Comience con un borde hacia usted, orientado horizontalmente. Sea el plano horizontal que contiene esta arista tal que biseca el ángulo diedro entre las dos caras que se encuentran a lo largo de esa arista. (En otras palabras, desde su perspectiva, estas dos caras, que se alejan de usted, parecerán iguales). Ahora puede hacer el$180^\circ$rotación discutida anteriormente, pero también puede llevar cualquier otro borde del sólido a la posición "frente a usted" mediante una rotación. Entonces hay$2e$ simetrías.
Para poliedros en $3$ espacio puedes mostrar que una ventaja $a$ se puede llevar a otro borde $b$ por $2$ Transformación del sólido que conserva la orientación (obtenga uno, y luego también puede rotar $b$). Si considera todas las transformaciones, entonces hay$4$ tales transformaciones transformaciones.
Por lo tanto, $|G_{+}(S)| = 2 e$, $|G(S)|= 4 e$, dónde $e$ es el número de aristas de $S$.