Cómo encontrar la suma de esta serie geométrica:$ 3+ \sqrt3 + 1 + …$

Aug 20 2020

Estoy tratando de encontrar la suma de esta serie geométrica pero no puedo encontrarla:

$ 3+ \sqrt3 + 1 + ...$

La solución que obtengo es:

$S=\frac{3(3+\sqrt{3})}{4}$

pero la clave de respuestas muestra:

$S=\frac{3\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{2}$

Este ejercicio es de un libro llamado Pre-Calculus in a Nutshell. Pude resolver la otra serie geometrica pero esta cuestion tiene raiz cuadrada y debo estar cometiendo un error al simplificar.

Estos son los pasos que tomé para encontrar mi solución, ¿quizás puedas ver dónde sale mal?

La suma de una serie geométrica es

$(S) = \frac{a}{1-r}$cuando |r| < 1

$3*r=\sqrt{3}$

Por lo tanto:

$r=\frac{\sqrt{3}}{3}$

$|\frac{3}{\sqrt{3}}|<1 $entonces puedo usar esa formula

$a=3$

que me da

$S=\frac{3}{1-\sqrt{3}}$

simplificando obtengo:

$S=\frac{3*(1+\sqrt{3})}{1-\sqrt{3}*(1+\sqrt{3})}$

$S=\frac{9+3\sqrt{3}}{1- (-3)}$

Simplificando más:

$S=\frac{3(3+\sqrt{3})}{4}$

Respuestas

3 SiongThyeGoh Aug 20 2020 at 11:15

De hecho, la proporción común era incorrecta, debería ser$\frac1{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}$

\begin{align} S &= \frac{3}{1-\frac{\sqrt3}{3}}=\frac{9}{3-\sqrt3}=\frac{9(3+\sqrt3)}{9-3} =\frac{3(3+\sqrt3)}2 = \frac{3\sqrt3(\sqrt3+1)}{2} \end{align}

Editar: trabajo alternativo:

$$S=\frac{3}{1-\frac1{\sqrt3}}=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt3-1}=\frac{3\sqrt3(\sqrt3+1)}{2}$$

1 OscarLanzi Aug 20 2020 at 17:17

También cometiste un segundo error. en tu trabajo$(1+\sqrt3)(1-\sqrt3)=1-(-3)$. Pero en realidad$(1+\sqrt3)(1-\sqrt3)=1-(+3)$.

Aquí hay un consejo con las series geométricas: cuando la serie converge, su suma debe tener el mismo signo que el primer término y ser más de la mitad en valor absoluto; por lo tanto, si el primer término fuera$1$la suma puede ser$+3/5$pero no$+2/5$o$-3/5$.