Cómo estudiar para aprender geometría diferencial para aplicarla a la estadística
Básicamente quiero aprender geometría de la información o específicamente la aplicación de la geometría diferencial en estadística para hacer un proyecto. Soy de formación estadística y tengo conocimientos sobre análisis real, cálculo de varias variables, álgebra lineal. Uno de mis profesores me dijo que los primeros tres capítulos de Geometría diferencial de Do Carmo serían suficientes. Alguien puede asegurarme si eso es suficiente o necesito aprender geometría de Riemann. Y si necesito aprender geometría riemanniana, entonces cuál debería ser mi camino para aprender. No quiero aprender matemáticas rigurosas. Solo quiero aplicarlo a las estadísticas.
Respuestas
Avishek, no es fácil de responder con el poco contexto que proporcionó.
Iría primero con lo que dijo tu profesor, y sí, Do Carmo es el lugar para ir.
Allí, aprenderá todo acerca de las superficies en$R^n$, que es básicamente geometría diferencial clásica.
Si, por el contrario, su proyecto está en el nivel de investigación (por ejemplo, tesis de maestría o superior), descargue este artículo . Eso tiene que ver con la geometría de la información abstracta, que a su vez se basa en la geometría diferencial moderna: variedades, cálculo tensorial, etc. Básicamente, la principal diferencia entre la primera y la segunda es que en la teoría de las variedades no se parte de la variedad incrustada, sino usted define intrínsecamente toda la maquinaria.
Si no conoce la geometría clásica de las superficies, todavía tiene que pasar unos días en Do Carmo. Luego prepárese para sudar mucho, para entrar en el enfoque moderno.
Espero eso ayude
Creo que Do Carmo es una buena opción. Personalmente, soy fanático de Introducción a las variedades suaves de John Lee y su secuela Riemannian Manifolds. Si bien estos están escritos en un nivel superior, realmente enfatizan la imagen geométrica en el trabajo.
Creo que la encuesta de Nielsen es un buen artículo y me resultó muy útil para obtener una visión general amplia de IG. Sin embargo, no recomendaría usarlo para aprender geometría diferencial. La mayoría de los libros sobre geometría de la información adoptan un enfoque muy idiosincrásico de la geometría, lo que puede dar lugar a diversos malentendidos. Estos no son un gran problema si ya está familiarizado con la geometría diferencial, pero son un problema mayor si está tratando de aprenderla.
Vale la pena leer ambos trabajos si está interesado en IG, pero le daré un ejemplo de lo que quiero decir. Tanto el libro de Amari como el artículo de encuesta de Nielsen afirman que la holonomía de una conexión plana es trivial (aunque no usan este lenguaje). En geometría de la información, las conexiones planas de interés generalmente se encuentran en familias exponenciales (donde esto termina siendo cierto). Sin embargo, en general, la holonomía de una conexión plana no es cero (es inducida por el grupo fundamental). Además, para este resultado, la conexión debe estar libre tanto de curvatura como de torsión (no solo libre de curvatura). Generalmente se considera que los colectores estadísticos tienen conexiones libres de torsión, por lo que esto no es un problema en las aplicaciones. Estos son puntos relativamente menores si está familiarizado con la geometría diferencial,