¿Cómo formular el punto de intersección de las ecuaciones nD en las que cada una tiene un origen distinto?
Digamos que tenemos $n$-línea / plano / hiperplano dimensional $n$ representado por $n$cantidad de ecuaciones. Tenga en cuenta que cada una de las ecuaciones cruza un origen diferente$O\in\mathbb{R}^n$.
¿Cuál sería la forma más sencilla de:
- compute, y opcionalmente
- verificar (tipo, existencia) de su intersección $I\in\mathbb{R}^n$?
Un ejemplo más simple quizás sería así:
$$\begin{equation}\begin{aligned} x_1 + y_1 &= a_1\\ \end{aligned}\end{equation}\tag{1}\label{eq1}$$ $$\begin{equation}\begin{aligned} x_2 + y_2 &= a_2\\ \end{aligned}\end{equation}\tag{2}\label{eq2}$$
con \ eqref {eq1} tiene origen $O_1$ y \ eqref {eq2} tiene origen de $O_2$.
Trazado así:
2 líneas con diferente origen en $\mathbb{R}^2$
Digamos $I$está demostrado gráficamente que existe como arriba. ¿Cuál es la solución analítica a alcanzar?$I_{x}$ y $I_{y}$?
Un punto más si se puede formular como un problema algebraico numéricamente estable.
Respuestas
Si usamos notación vectorial, apunte $\vec{p}$ está en hiperplano $\vec{n}, d$ si y solo si $$\vec{p} \cdot \vec{n} = d \tag{1}\label{1}$$
Pero, si la definición de hiperplano es con respecto al origen $\vec{o}$, entonces es $$(\vec{p} - \vec{o}) \cdot \vec{n} = d \tag{2a}\label{2a}$$ que es equivalente a $$\vec{p} \cdot \vec{n} = d + \vec{o} \cdot \vec{n} \tag{2b}\label{2b}$$
En otras palabras, tener el hiperplano definido con respecto a algún punto que no está en el origen, solo cambia el componente escalar (distancia con signo) del hiperplano. En coordenadas absolutas, el componente escalar se incrementa por el producto escalar entre la normal del hiperplano y el punto utilizado como origen para la definición del hiperplano.
Si usamos $\vec{p} = (p_1 , \dots , p_N)$ para que se consideren las coordenadas de un punto, $\vec{n} = (n_1 , \dots , p_N)$ para el hiperplano normal, y $\vec{o} = (o_1, \dots, o_N)$ para el punto utilizado como origen para la definición del hiperplano, podemos escribir $\eqref{2a}$ como $$(p_1 - o_1) n_1 + \dots + (p_N - o_N) n_N = d \tag{3a}\label{3a}$$ y $\eqref{2b}$ como $$p_1 n_1 + \dots + p_N n_N = d + o_1 n_1 + \dots + o_N n_N \tag{3b}\label{3b}$$ o, en forma de suma, como $$\sum_{i=1}^{N} p_i n_i = d + \sum_{i=1}^N o_i n_i \tag{3c}\label{3c}$$
Digamos que tienes dos hiperplanos $(n_1, \dots, n_N ; d)$ y $(u_1, \dots, u_N ; p)$, con "orígenes" $(o_1, \dots, o_N)$ y $(g_1, \dots, g_N)$: $$\left\lbrace ~ \begin{aligned} \sum_{i=1}^N p_i n_i &= d + \sum_{i=1}^N o_i n_i \\ \sum_{i=1}^N p_i u_i &= p + \sum_{i=1}^N g_i u_i \\ \end{aligned} \right . \tag{4} \label{4}$$ donde ambas ecuaciones en $\eqref{4}$ solo son ciertas para $(p_1, \dots, p_N)$ en la intersección de los dos hiperplanos.
La única diferencia con la situación estándar es la suma constante adicional añadida al componente escalar, dependiendo sólo del "origen" (con respecto al cual se definió el hiperplano) y del hiperplano normal.
Tenemos $N$hiperplanos. Usemos la notación$\vec{n}_i = (n_{i, 1}, \dots, n_{i, N})$ para sus vectores normales, y $d_i$ para sus distancias con signo desde el origen absoluto, es decir, incluyendo la suma constante en el lado derecho en $\eqref{3c}$ o $\eqref{4}$.
Si formamos una matriz $\mathbf{M}$, con cada fila que consta de un hiperplano normal, $$\mathbf{M} = \left[ \begin{matrix} n_{1, 1} & n_{1, 2} & \dots & n_{1, N-1} & n_{1, N} \\ n_{2, 1} & n_{2, 2} & \dots & n_{2, N-1} & n_{2, N} \\ \vdots & \vdots & ~ & \vdots & \vdots \\ n_{N-1, 1} & n_{N-1, 2} & \dots & n_{N-1, N-1} & n_{N-1, N} \\ n_{N, 1} & n_{N, 2} & \dots & n_{N, N-1} & n_{N, N} \\ \end{matrix} \right ] \tag{5}\label{5}$$ y un vector de columna $y$ a partir de las distancias firmadas, incluidas las sumas de compensación de "origen" constante, $$y = \left[ \begin{matrix} d_1 \\ d_2 \\ \vdots \\ d_{N-1} \\ d_{N} \\ \end{matrix} \right ] \tag{6}\label{6}$$ con $x$ siendo el vector columna para el punto de intersección, el sistema de ecuaciones se convierte en $$\mathbf{M} x = y \tag{7a}\label{7a}$$ Esto tiene solución si $\mathbf{M}$ es invertible, $$x = \mathbf{M}^{-1} y \tag{7b}\label{7b}$$
En un programa de computadora, $\mathbf{M}$puede ser casi singular si algunas de las normales son casi linealmente dependientes (es decir, un producto escalar por pares está cerca del producto de sus normas euclidianas; o, de manera equivalente, las normales son casi paralelas o casi opuestas). Obviamente, si dos o más de las normales son paralelas u opuestas, entonces la intersección ya no es un punto.
A menos que tenga requisitos adicionales no declarados, básicamente cualquier biblioteca de álgebra lineal debería funcionar para esto.