Cómo hacer que Mathematica cancele los infinitos en una integral definida

Aug 17 2020

tengo esta integral:$\int_z^1 dz_1\frac{z}{z_1(z_1 - z)} \Bigg(\ln z_1 \ln(1 - z_1) - \ln z \ln(1-z)\Bigg)$.

Si trato de resolverlo en Mathematica, no da ningún resultado, aunque puede resolver la versión indefinida. Si tomo entonces el límite de ese resultado para$z_1\rightarrow z$y$z_1\rightarrow 1$para tener la respuesta de la integral definida hay algunos infinitos en términos separados, pero en la expresión entera se anulan. Entonces, términos como este, por ejemplo:$-\ln 0 \ln z + \ln 0 \ln z$lo cual es obvio que los infinitos se cancelan (como deberían, ya que esta integral describe una cantidad física). Hasta ahora he estado tratando este problema a mano y cancelando estos aparentes infinitos término por término.
Mi pregunta es: ¿hay alguna manera de decirle a Mathematica que manipule estos términos y los cancele en el resultado?
He intentado tomar el límite, pero solo da "Indeterminado" cada vez. Realmente agradecería algo de ayuda.

Respuestas

4 yarchik Aug 17 2020 at 17:54

Parece que no hay problemas con MA 11.3. No hay divergencias para los valores reales de z. Uno tiene que esperar alrededor de 40 s.

 Integrate[z/(z1(z1-z)) (Log[z1]Log[1-z1]-Log[z]Log[1-z]),{z1,z,1},Assumptions->0<z<1]//Timing

Out[1]= {41.7505,-(1/6) Log[1-z] (Log[1-z]^2+3 Log[1-z] Log[z]+3 Log[z]^2
                  +6 PolyLog[2,z])+PolyLog[3,z/(-1+z)]}

Cabe señalar que para$0<z<1$el integrando es real, continuo y libre de singularidades en el intervalo$z\le z_1 \le 1$. En realidad$z_1=z,1$son singularidades removibles . Por lo tanto, PrincipalValue->Trueno es necesario.