Cómo $\min\limits_{0<n<N} \{n\pi\}$ escalar con $N$ ( $\{\cdot\}$ denota la parte fraccionaria)
Dejar $x$ ser un número irracional (estaría feliz con la respuesta a la pregunta para una opción específica como $\pi$). De acuerdo a
por $x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q$, el conjunto $\{nx-\lfloor nx\rfloor: n\in \mathbb{N}\}$ es denso en $[0,1)$,
el conjunto $\{nx\}$ es denso en $[0,1]$, dónde $\{\cdot\}$es la parte fraccionaria. Así,$$\min\limits_{0<n<N} \{nx\}$$ converge a $0$ para $N\rightarrow\infty$. ¿Se sabe algo sobre la escala de esta serie, como$$\min\limits_{0<n<N} \{nx\} = \mathcal{O}\left(\frac{1}{\operatorname{ln}(N)}\right)$$
Respuestas
Generalmente no podemos decir mucho más sobre $$m(N) = m_x(N) := \min_{0 < n < N}\: \lbrace nx\rbrace$$ que $m(N) \to 0$. Mientras que por cada irracional$x$ hay infinitamente muchos $N$ con $m(N) < \frac{1}{N}$, para cada función $f \colon \mathbb{N} \to (0,+\infty)$ con $f(N) \to 0$ podemos encontrar (innumerables) irracionales $x$ con $$\limsup_{N \to +\infty} \frac{m_x(N)}{f(N)} = +\infty\,.$$ En ese sentido, $m_x$ puede tender a $0$arbitrariamente lentamente. Pero heurísticamente, el comportamiento típico es que$m_x(N)$ no tiende a $0$ mucho más lento que $\frac{1}{N}$.
Comprender $m$podemos usar la expansión de fracción continua (específicamente, la expansión de fracción continua simple) de$x$.
Dado que, hasta donde yo sé, no sabemos mucho sobre la expansión continua de la fracción de $\pi$ ("sabemos" los primeros miles de millones de términos, pero no lo que sucede después de eso), no podemos (todavía) descartar que $m_{\pi}(N)$ tiende a $0$ muy muy lentamente. Pero esperamos que no sea así.
Por otro lado, para cada $x$ cuya expansión de fracción continua ha acotado cocientes parciales (llamados "coeficientes" o "términos" en el artículo de wikipedia), en particular para todos los irracionales cuadráticos (estos tienen fracciones continuas periódicas), tenemos $m_x(N) \asymp \frac{1}{N}$, entonces cosas como $m_{\sqrt{2}}$se puede analizar bastante bien. La expansión continua de la fracción de$e$ tiene cocientes parciales ilimitados, pero tiene un patrón regular conocido, y tenemos $m_e(N) \in \mathcal{O}\bigl(\frac{\log N}{N}\bigr)$.
Echemos un vistazo a las fracciones continuas (simples). La indexación comienza con$0$, la $k^{\text{th}}$ convergente a lo irracional $x$ con expansión de fracción continua $[a_0, a_1, a_2, \dotsc]$ será denotado por $p_k/q_k$, la $k^{\text{th}}$ cociente completo $[a_k, a_{k+1}, a_{k+2}, \dotsc]$ por $\alpha_k$.
La primera observación importante es que los convergentes son alternativamente más pequeños y más grandes que $x$, tenemos $$x - \frac{p_k}{q_k} = (-1)^k\cdot \delta_k$$ con $0 < \delta_k < 1$. (Tenemos límites superiores mucho mejores para$\delta_k$, pero aquí solo me preocupa el signo de la diferencia).
Otro hecho importante es que los convergentes dan las mejores aproximaciones racionales a $x$ en un sentido muy fuerte:
Dejar $k > 1$. Entonces para todos los enteros positivos$q < q_{k+1}$ y todos los enteros $p$ tenemos $$\lvert qx - p\rvert \geqslant \lvert q_k x - p_k\rvert \tag{1}$$ con igualdad si y solo si $p = p_k$ y $q = q_k$.
Definimos los números positivos $\varepsilon_k$ por $q_k x - p_k = (-1)^k\varepsilon_k$. Desde$(1)$ resulta que $$m(q_{2k} + 1) = m(q_{2k+1}) = \varepsilon_{2k}$$ para todos $k \geqslant 1$. La recurrencia de los convergentes junto con$\alpha_k = a_k + \frac{1}{\alpha_{k+1}}$ rendimientos \begin{align} \varepsilon_k &= \lvert q_{k}x- p_{k}\rvert \\ &= \Biggl\lvert q_{k}\frac{\alpha_{k}p_{k-1} + p_{k-2}}{\alpha_{k}q_{k-1} + q_{k-2}} - p_{k}\Biggr\rvert \\ &= \frac{\bigl\lvert \alpha_{k}\bigl(p_{k-1}q_{k} - p_{k}q_{k-1}\bigr) + \bigl(p_{k-2}q_{k} - p_{k}q_{k-2}\bigr)\bigr\rvert}{\alpha_{k}q_{k-1} + q_{k-2}} \\ &= \frac{\alpha_{k} - a_{k}}{\alpha_{k}q_{k-1} + q_{k-2}} \\ &= \frac{1}{\alpha_{k+1}\bigl(q_{k} + \frac{q_{k-1}}{\alpha_{k+1}}\bigr)} \\ &= \frac{1}{\alpha_{k+1}q_{k} + q_{k-1}} \\ &= \frac{1}{a_{k+1}q_{k} + q_{k-1} + \frac{q_k}{\alpha_{k+2}}} \\ &= \frac{1}{q_{k+1} + \frac{q_k}{\alpha_{k+2}}} \\ &< \frac{1}{q_{k+1}}\,. \end{align} Así tenemos $$m_x(N) < \frac{1}{N}$$ al menos para todos $N$ tal que hay un $k \geqslant 1$ con $q_{2k} < N \leqslant q_{2k+1}$y, por supuesto, hay infinitos de este tipo (al menos uno para cada $k$).
Por otro lado, entre $q_{2k+1}$ y $q_{2k+2}$pueden pasar cosas malas. Primero notamos que siempre tenemos$$\frac{1}{2q_{k+1}} < \varepsilon_k < \frac{1}{q_{k+1}}$$ y $a_{k+2}q_{k+1} < q_{k+2} = a_{k+2}q_{k+1} + q_k < (a_{k+2} + 1)q_{k+1}$ para $k \geqslant 1$. También por$1 \leqslant r \leqslant a_{2k+2}$ tenemos $$\varepsilon_{2k} > (q_{2k} + rq_{2k+1})x - (p_{2k} + rp_{2k+1}) = \varepsilon_{2k} - r\varepsilon_{2k+1} \geqslant \varepsilon_{2k+2}\,.$$ Vemos que los denominadores $q_{2k} + rq_{2k+1}$ producir nuevos mínimos para $\{n x\}$ (en realidad todavía no, también debemos considerar otras $q$ Entre $q_{2k+1}$ y $q_{2k+2}$, pero escribiendo tal $q$ en la forma $q_{2k} + rq_{2k+1} + s$ con $0 \leqslant r \leqslant a_{2k+2}$ y $0 \leqslant s < q_{2k+1}$ nosotros podemos usar $(1)$ para ver eso $\{q x\} > \varepsilon_{2k}$ cuando $s \neq 0$), pero disminuyen bastante lentamente.
Ahora suponga el cociente parcial $a_{2k+2}$ es muy grande y elige $r \approx \frac{a_{2k+2}}{2}$. Entonces para$n = q_{2k} + rq_{2k+1}$ tenemos $$\{nx\} = \varepsilon_{2k} - r\varepsilon_{2k+1} = \varepsilon_{2k} - \frac{r}{a_{2k+2}}\bigl(\varepsilon_{2k} - \varepsilon_{2k+2}\bigr) \approx \frac{1}{2}\varepsilon_{2k} > \frac{1}{4q_{2k+1}}$$ y $n > rq_{2k+1} > a_{2k+2}$ (ya que $q_{2k+1} > 2$ para $k \geqslant 1$). Dado cualquier$f \in o(1)$ y parte inicial $[a_0, a_1, \dotsc, a_{2k+1}]$ de una fracción continua, siempre podemos elegir $a_{2k+2}$ tan grande que $$\frac{1}{4 q_{2k+1} f(a_{2k+2})} > e^{k^4}\,,$$ decir.
Así $m_x$ puede tender a $0$ lentamente si la fracción continua de $x$ tiene enormes cocientes parciales con índices pares (los cocientes parciales con índices pares entrarían en la imagen si consideraras $\max \:\{nx\}$ o equivalente $\min \:(1 - \{nx\})$ en lugar de o además de $\min \: \{nx\}$).
Sin embargo, por lo general, los cocientes parciales son pequeños en comparación con los denominadores de los convergentes, y si tenemos $a_{k+1} \leqslant \varphi(q_k)$ para todos (suficientemente grande) $k$, entonces tenemos $$m_x(N) \in \mathcal{O}\biggl(\frac{\varphi(N)}{N}\biggr)\,.$$ por $x$ con cocientes parciales acotados podemos tomar $\varphi$ como una función constante, y para $e = [2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,1,\dotsc]$ tenemos $a_n \ll n$ mientras $q_n \gg c^n$ para algunos $c > 1$, de donde $a_{k+1} \leqslant K\cdot \log q_k$.
por $\pi = [3,7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,\dotsc]$ los cocientes parciales $a_2 = 15$ y $a_4 = 292$ son grandes en relación con el índice, pero no tan grandes en relación con los denominadores $q_1 = 7$ y $q_3 = 113$. Entre los primeros$20000$cocientes parciales hay algunos grandes , pero en relación con los denominadores correspondientes$q_k$sin embargo, son muy pequeños. Por supuesto que no podemos sacar ninguna conclusión de eso, pero hasta ahora, los datos que tenemos no indican que$m_{\pi}$ tiende a $0$ despacio.