¿Cómo mostrar la desigualdad triangular y que la bola abierta es un ideal compacto?

Aug 19 2020

en un anillo$F_p[[X]]$de series formales con coeficientes en el campo con$p$elementos tenemos una métrica$$d(\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n X^n,\sum\limits_{n=0}^{\infty} b_n X^n)=p^{-\min\{n|a_n\neq b_n\}}.$$tengo dos problemas

  1. Problema para mostrar la desigualdad triangular . solo he logrado ver como se ve$$ p^{-\min\{n|a_n\neq b_n\}}\leq p^{-\min\{n|a_n\neq c_n\}}+ p^{-\min\{n|c_n\neq b_n\}}.$$Traté de aplicar el logaritmo a ambos lados, pero sin efectos. Tampoco conozco ninguna desigualdad sensible con potencias.

  2. Problema con mostrar esa bola abierta con respecto a esta métrica con el centro en$0$y cualquier radio positivo es ideal compacto en$F_p[[X]]$. Nuestra pelota tiene una forma ($r>0$)$K_{0,r}=\{\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n X^n:d(\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n X^n,0)\leq r\} =\{\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n X^n:p^{-\min\{n|a_n\neq 0\}}\leq r\} $.

En mi opinión, deberíamos demostrar que

a)$K_{0,r}$no está vacío y$\alpha - \beta\in K_{0,r} \ \forall_{\alpha,\beta\in K_{0,r}}$,

b) si$\gamma\in F_p[[X]], \ \alpha\in K_{0,r}$después$\gamma \alpha \in K_{0,r}$,

b) si$\gamma\in F_p[[X]], \ \alpha\in K_{0,r}$después$ \alpha\gamma \in K_{0,r}$.

Desgraciadamente no tengo ni idea de cómo probar eso, más aún, cómo mostrar que este ideal es compacto.

Respuestas

1 BrianM.Scott Aug 19 2020 at 07:08

De hecho, este es un espacio ultramétrico : si$g,f,h\in F_p[[X]]$, después$d$satisface la desigualdad del triángulo fuerte (o ultramétrica ) :

$$d(f,g)\le\max\{d(f,h),d(h,g)\}\,.\tag{1}$$

para distinto$f(X)=\sum_{n\ge 0}a_nX^n,g(X)=\sum_{n\ge 0}b_nX^n\in F_p[[X]]$dejar

$$\delta(f,g)=\min\{n\ge 0:a_n\ne b_n\}\,,$$

de modo que$d(f,g)=p^{-\delta(f,g)}$.

Dejar$f(X)=\sum_{n\ge 0}a_nX^n$,$g(X)=\sum_{n\ge 0}b_nX^n$, y$h(X)=\sum_{n\ge 0}c_nX^n$. Claramente$(1)$se mantiene si$f=h$,$h=g$, o$f=g$, así que supongamos que$f,g$, y$h$son todos distintos. Dejar$k=\delta(f,h)$y$\ell=\delta(h,g)$, y sin pérdida de generalidad supongamos que$k\le\ell$. Después$a_n=b_n=c_n$para cada$n<k$, asi que$\delta(f,g)\ge k$, y por lo tanto

$$d(f,g)=p^{-\delta(f,g)}\le p^{-k}=\max\{p^{-k},p^{-\ell}\}=\max\{d(f,h),d(h,g)\}\,,$$

como se desee.

En esta respuesta demostré que una bola abierta en un espacio ultramétrico también es un conjunto cerrado. (La notación allí se toma del PDF al que se vinculó el OP y es un poco extraña:$B(x,r^-)$es simplemente la bola abierta de radio$r$centrado en$x$.) En esta respuesta mostré que las bolas abiertas centradas en el origen en$\Bbb Q_p$son compactos; con un poco de trabajo deberías poder adaptarlo a las bolas en$F_p[[X]]$.

Por lo demás, tenga en cuenta que las bolas abiertas centradas en$0$todos tienen la siguiente forma:

$$B_k=\left\{\sum_{n\ge 0}a_nX^n\in F_p[[X]]:a_n=0\text{ for }n<k\right\}\,.$$

Usando esto no es difícil mostrar que$fg\in B_k$cuando sea$g\in B_k$: si$g\in B_k$, tiene un factor de$X^k$, y por lo tanto también$fg$. Comprobar que está cerrado bajo la suma también es sencillo.