¿Cómo son los vectores afín (in) dependientes en $\mathbb R^n$ arreglado en el espacio?
Considere un conjunto finito de vectores $\{v_i\}_i\subset\mathbb R^n$.
Este conjunto es linealmente independiente si $\sum_k \alpha_k v_k=0$ implica $\alpha_k=0$. Geométricamente, entiendo la dependencia lineal como el hecho de que un conjunto de vectores está contenido en un hiperplano que pasa por el origen.
Por otro lado, decimos que $\{v_i\}_i$son afinamente dependientes si$\sum_k \alpha_k v_k=0$ para $\alpha_k$no todo cero y tal que$\sum_k\alpha_k=0$. ¿Existe una intuición geométrica similar para visualizar cuando un conjunto$\{v_i\}_i$ es afinamente dependiente / independiente?
Respuestas
Su caracterización de la (in) dependencia lineal no es del todo correcta. Cada conjunto de vectores está contenido en algún tipo de hiperplano a través del origen, es decir, su tramo.
En cambio, diría que un conjunto finito de vectores es linealmente dependiente si se encuentran en un hiperplano a través del origen cuya dimensión es menor que el número de vectores en el conjunto.
Y en una vena similar, un conjunto finito de puntos en $\mathbb R^n$es afinamente dependiente si se encuentra en un hiperplano cuya dimensión es menor que el número de puntos del conjunto menos 1 . Por lo tanto, 3 puntos diferentes en una línea son afinamente dependientes, pero 2 puntos diferentes en una línea son afinamente independientes.
Hay otra bonita imagen geométrica de independencia afín:
- un par de puntos es afinamente independiente si es el conjunto de puntos finales de un segmento de línea (lo que ocurre si y solo si los dos puntos de ese par son desiguales)
- un triple de puntos es afinamente independiente si es el conjunto de vértices de un triángulo
- un cuádruple de puntos es afinamente independiente si es el conjunto de vértices de un tetraedro
- un $k$-tupla de puntos es afinamente independiente si es el conjunto de vértices de un $k-1$simplex dimensional .
Como dice @ runway44, afínmente dependiente significa "están todos en hiperplano", aunque posiblemente un hiperplano que no contiene el origen. Para ver esto rápidamente, tome el$k+1$ vectores $$ v_0, v_1 \ldots, v_k $$ con $$ \sum a_i v_i = 0, \sum a_i = 1 $$ y restar $v_0$ de cada uno de $v_1, \ldots, v_k$ Llegar $w_1, \ldots, w_k$.
Entonces los vectores $w_k$todos se encuentran en un hiperplano paralelo a través del origen. (Vale la pena hacer álgebra para establecer esto usted mismo).
O, para ponerlo en una forma más clásica, si tomamos $v_0$ como el origen de un nuevo sistema de coordenadas, entonces el resto $v_i$ todos los vectores se encuentran en un hiperplano.