¿Cómo usar la función `Covarianza` para calcular la covarianza correctamente?

Aug 18 2020

Nota: Las siguientes preguntas son de la pregunta 23 del Examen de ingreso en matemáticas para graduados chinos de 2005 (primer conjunto):

Suponer$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}(n>2)$es una muestra aleatoria simple de la población$\mathrm{N}(0,1)$, y$\bar{X}$es la media muestral ($\bar{X}=\frac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n}$),$Y_{i}=X_{i}-\bar{X}$,$i=1,2, \cdots, n $.

Ahora tenemos que resolver los siguientes problemas:

(1) La varianza$D Y_{i}$de$Y_{i}$,$i=1,2, \cdots, n $.

(2) la covarianza$\operatorname{Cov}\left(Y_{1}, Y_{n}\right)$de$Y_{1}$y$Y_{n}$.

Yo uso n = 10como un caso especial para resolver este problema:

Y1 = TransformedDistribution[x[1] - Sum[x[i], {i, 1, 10}]/10, 
  Table[x[i] \[Distributed] NormalDistribution[], {i, 1, 10}]]
Variance[Y1]
Y10 = TransformedDistribution[x[10] - Sum[x[i], {i, 1, 10}]/10, 
  Table[x[i] \[Distributed] NormalDistribution[], {i, 1, 10}]]
Variance[Y10]
Covariance[Y1, Y10]
Correlation[Y1, Y10]

Pero el código anterior no puede obtener la covarianza de Y1y Y10correctamente (la respuesta de referencia es$-\frac{1}{10}$). ¿Cómo puedo usar la función Covariancepara resolver este problema?

Respuestas

3 JimB Aug 18 2020 at 11:06

Debe usar una notación que separe las variables aleatorias de sus distribuciones. El siguiente código debería proporcionarle las varianzas y covarianzas deseadas:

n = 10; 
distY1Yn = TransformedDistribution[{x[1] - Sum[x[i], {i, 1, n}]/n, x[n] - Sum[x[i], {i, 1, n}]/n}, 
  Table[x[i] \[Distributed] NormalDistribution[], {i, 1, n}]];
Covariance[distY1Yn]
(* {{9/10, -(1/10)}, {-(1/10), 9/10}} *)
Correlation[distY1Yn]
(* {{1, -(1/9)}, {-(1/9), 1}} *)

distY1 = TransformedDistribution[x[1] - Sum[x[i], {i, 1, n}]/n, 
   Table[x[i] \[Distributed] NormalDistribution[], {i, 1, n}]];
Variance[distY1]
(* 9/10 *)

distYn = TransformedDistribution[x[n] - Sum[x[i], {i, 1, n}]/n, 
   Table[x[i] \[Distributed] NormalDistribution[], {i, 1, n}]];
Variance[distYn]
(* 9/10 *)