Compare impuestos Cobb-Douglass y más

Nov 24 2020

Dejemos que una función de utilidad para un consumidor se defina como $u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{1/2} x_{2}^{1/2}$. Con el presupuesto$x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}=m$. Con valores$p_1=p_2=1, m=32$. El estado ahora agrega un impuesto de la unidad 3 sobre$p_{1}$ (pr. Unidad $x_1$)

¿Cómo afecta la utilidad? ¿Qué gana el estado?

  • Obtuve la utilidad antes de los 16 y después de los 8 con impuestos que se correlacionan con 12 por unidad $x_1$

El estado ahora considera un impuesto sobre la renta tal que los ingresos ahora son $m-T$¿Cuánto ganará el estado con el nuevo sistema manteniendo al consumidor indiferente ? ¿Qué sistema es mejor?

  • Calculé que resuelvo el impuesto en la función de utilidad en condiciones óptimas de demanda, de modo que obtengo una utilidad igual a 8. Esto me dio 16 unidades de impuesto sobre la renta.

¿Cómo se hace matemáticamente la última parte? Creo que el impuesto sobre la renta es mejor para el consumidor, pero ¿cómo puedo mostrarlo matemáticamente?

Respuestas

1 1muflon1 Nov 24 2020 at 03:29

La intuición que tienes es correcta. Matemáticamente, puede mostrarlo derivando primero las opciones óptimas con el impuesto sobre la renta de suma global. Así que configurará el siguiente lagrangiano:

$$\mathcal{L} = x^{1/2}_1 x^{1/2}_2 - \lambda [x_1p_1+x_2p_2 - m + T] $$

Esto le da 3 FOC's la restricción presupuestaria y:

$$ 0.5x_1^{-0.5} x_2^{0.5} = \lambda p_1 \\ 0.5x_2^{-0.5} x_2^{0.5} = \lambda p_2$$

Resolver para óptimo $x_1^*$ y $x_2^*$:

$$ x_1^* = \frac{m-T}{2p_1} = \frac{32-T}{2} \\ x_2^* = \frac{m-T}{2p_2} = \frac{32-T}{2}$$

Donde aquí las segundas igualdades aprovechan los supuestos de que $p_1 = p_2=1$ y $m=32$.

Ahora puede simplemente conectar esto a la función de utilidad y suponiendo que no cometió ningún error, equipare esto a la utilidad con el impuesto al consumo en $p_1$ entonces tendrás:

$$ 8 = \left( \frac{32-T}{2}\right)^{0.5} \left( \frac{32-T}{2}\right)^{0.5} \\ T =16$$

Entonces, bajo el régimen del impuesto sobre la renta, el gobierno obtiene $T=16> t=12$mientras que el consumidor todavía tiene la misma utilidad que bajo el impuesto al consumo, lo que significa que el impuesto sobre la renta es mejor. La intuición para ello es que el impuesto sobre la renta no distorsiona los precios relativos, solo tiene un efecto sobre la renta, mientras que el impuesto sobre el consumo tiene efectos sobre la renta y sustitución.