Compleción con ideal generado por una parte del sistema regular de parámetros

Question

Dejar$R$ser un$d$local regular noetheriano -dimensional$k$-álgbera ($k$cualquier campo de char($k$) = 0,$d \geq$2). Dejar$x, y$ser parte del sistema regular de parámetros para$R$. Dejar$I = (x, y)$ser un ideal generado por$x$y$y$y$\hat{R}$denota la terminación de$R$con respecto a$I$.

¿Es cierto que$\hat{R} = \frac{R}{I}[[x, y]]$?

Sé que el caso muy especial de que es cierto cuando$d = 2$y$I$es el ideal máximo. La afirmación anterior parece correcta, pero no estoy del todo seguro. Cualquier ayuda sería genial.

Answer 1

Supongamos además que$R$es esencialmente de tipo finito sobre$k$. Después$\hat{R}$contiene un subanillo que se mapea isomórficamente en$R/I$.

Prueba: Tenga en cuenta que$R/I$es regular y esencialmente de tipo finito sobre$k$. Por lo tanto, es$0$-allanar$k$(Matsumura, Teoría del Anillo Conmutativo , Teorema 30.3). Podemos, por tanto, levantar el mapa identitario de$R/I$a un$k$-mapa de álgebra$f_2 : R/I \to R/I^2$. Repitiendo el argumento, obtenemos un$k$-mapa de álgebra$f_j : R/I \to R/I^j$levantamiento$f_{j-1}$, para cada$j \geq 3$. Así obtenemos un mapa$R/I \to \hat{R}$tal que el compuesto$R/I \to \hat{R} \to R/I = \hat{R}/I\hat{R}$es el mapa de identidad de$R/I$.

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Respuesta anterior, dejada aquí para que los comentarios a continuación tengan sentido.

$\hat{R}$es un piso$R$-módulo (Matsumura, Teoría del Anillo Conmutativo , Teorema 8.8) pero$\frac{R}{I}[[x,y]]$no lo es, ya que todo elemento distinto de cero de$I$es un divisor de cero en él.