Comportamiento local de un módulo localizado en un ideal principal

Question

Dejar $R$ ser un anillo conmutativo y $p,q$ ser dos ideales primordiales de $R$ con $q\subset p$. Sabemos$(R_p)_{qR_p}\cong R_q $como anillos. Dejar$M$ frijol $R$-módulo. Es cierto que$(M_p)_{qR_p}\cong M_q$ como $R_q$-módulos?

Answer 1

Dado $S^{-1}M \cong S^{-1}R\otimes_R M$ y $(R_p)_{qR_p} \cong R_q$, tenemos

$$(M_p)_{qR_p} \cong (R_p)_{qR_p} \otimes_{R_p} M_p \cong (R_p)_{qR_p} \otimes_{R_p} R_p \otimes_R M \cong R_q\otimes_R M \cong M_q$$

que muestra el isomorfismo deseado.