Comprender la prueba de: cada función convexa es continua

Question

Estoy tratando de comprender la siguiente prueba:

Teorema 2.10. Si$f$ es una función convexa definida en un intervalo abierto $(a, b)$ luego $f$ es continuo en $(a, b)$

Prueba. Suponer$f$ es convexo en $(a, b),$ y deja $[c, d] \subseteq(a, b) .$ Escoger $c_{1}$ y $d_{1}$ tal que $$ a<c_{1}<c<d<d_{1}<b. $$ Si $x, y \in[c, d]$ con $x<y,$ que tenemos del Lema 2.9 (ver Figura 4$)$ ese $$ \frac{f(y)-f(x)}{y-x} \leq \frac{f(d)-f(y)}{d-y} \leq \frac{f\left(d_{1}\right)-f(d)}{d_{1}-d} $$ y $$ \frac{f(y)-f(x)}{y-x} \geq \frac{f(x)-f(c)}{x-c} \geq \frac{f(c)-f\left(c_{1}\right)}{c-c_{1}}, $$ mostrando el set $$ \left\{\left|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\right|: c \leq x<y \leq d\right\} $$ está limitado por $M>0 .$ Sigue $|f(y)-f(x)| \leq M|y-x|,$ y por lo tanto $f$ es uniformemente continuo en $[c, d] .$ Recordando que la continuidad uniforme implica continuidad, hemos demostrado que $f$ es continuo en $[c, d] .$ desde el intervalo $[c, d]$ fue arbitrario, $f$ es continuo en $(a, b)$. ${}^2$ $\square$

(transcrito de esta captura de pantalla)

Mis preguntas :

1. ¿Dónde aparecieron los valores del módulo en la expresión $\left\{\left|\dfrac{f(y)-f(x)}{y-x}\right|\right\}$ ¿viene de?
2. Qué pasa $M=0$? Creo que ese caso también debería abordarse, aunque es trivial. Creo que la idea es que si$M=0$, luego $f$es constante y, por tanto, continuo. Pero, ¿cómo podemos demostrarlo con rigor?

Answer 1

Dado que el autor encontró a números $\alpha$ y $\beta$ tal que siempre tienes, cuando $c\leqslant x<y\leqslant d$,$$\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\leqslant\alpha$$y$$\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\geqslant\beta,$$entonces el set$$\left\{\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\,\middle|\,c\leqslant x<y\leqslant d\right\}$$está acotado y por lo tanto el conjunto$$\left\{\left|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\right|\,\middle|\,c\leqslant x<y\leqslant d\right\}$$también está acotado. Entonces, puedes tomar algo$M>0$ tal que$$c\leqslant x<y\leqslant d\implies\left|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\right|<M.$$Y, desde que tomaste $M>0$, no hay necesidad de preocuparse por la posibilidad de que $M=0$.

Answer 2

1. En esta demostración usamos algo equivalente a la continuidad uniforme en un conjunto acotado, es decir, la continuidad de Lipschitz, y de ahí también proviene esta expresión. Habría que demostrar que la continuidad de Lipschitz implica una continuidad uniforme, pero que a menudo se deja de lado, ya que se considera elemental.
2. No veo porque $M=0$ tendría que abordarse por separado, ya que cualquier función que satisfaga la desigualdad con $M=0$ satisfaría la desigualdad para cualquier positivo $M$.