Confusión sobre la definición (en la teoría ΨDO) de los espacios de Sobolev en conjuntos abiertos en el espacio euclidiano

Question

Estoy leyendo Pseudodifferential Operators de ME Taylor, donde el autor habla sobre$H^s(\Omega)$ para $s\in\mathbb{R}$ y $\Omega\subset\mathbb{R}^n$un conjunto abierto (por ejemplo, en el enunciado de la desigualdad de Gårding) sin definirlo nunca. De hecho, solo ha definido tales espacios de Sobolev para$\mathbb{R}^n$y colectores compactos. En ambos casos, uno tiene un$s$-orden operador pseudodiferencial $\Lambda^s$ (con símbolo principal $\langle\xi\rangle^s$) que induce un isomorfismo $H^s\to L^2$. Esto podría tomarse como la definición de$H^s$. Sin embargo, no sé cómo hacer lo mismo para los conjuntos abiertos generales en el espacio euclidiano. Algunos pensamientos:

1. En la p.51, el autor comenta que esto se hace alterando $\Lambda$para que tenga el soporte adecuado. Sin embargo, no estoy seguro de lo que quiere decir con esto.
2. Quizás uno podría usar el cálculo funcional en el estándar laplaciano $\Delta$. Hay varios problemas con este enfoque: (a) Necesitaría$\Delta^{s/2}$ a ser definido en el espacio de distribuciones (de modo que la definición sería como: una distribución $u$ pertenece a $H^s$ Si $\Delta^{s/2}u\in L^2$), pero el cálculo funcional solo lo define en un subespacio de $L^2$. (b) es$\Delta^{s/2}$ realmente un operador pseudodiferencial con el símbolo correcto?

Entonces, ¿cuál es la definición correcta en este contexto? ¡Cualquier ayuda será apreciada!

Answer 1

1. Definiciones típicas de los espacios de Sobolev

Para un subconjunto abierto general $\Omega$ (sin supuestos de regularidad en su límite), los espacios de Sobolev $H^s(\Omega)$ se definen primero para $s\in \mathbb{N}$ (de la manera obvia: derivados a la orden $s$ estará en $L^2$) y para general $s\in \mathbb{R}$ vía interpolación / dualidad.

Sin embargo, si $\partial \Omega$ es lo suficientemente regular, hay una manera más fácil: supongamos por simplicidad que $\partial \Omega \in C^\infty$, entonces uno típicamente define $H^s(\Omega)$ como el espacio de distribuciones en $\Omega$ que admiten una extensión a $\mathbb{R}^d$ que se encuentra en $H^s(\Omega)$. Equivalentemente$H^s(\Omega)=rH^s(\mathbb{R}^d)\subset\mathcal{D}'(\Omega)$, dónde $r:\mathcal{D}'(\mathbb{R}^d)\rightarrow \mathcal{D}'(\Omega)$es el operador de restricción. Esto produce los mismos espacios que en el primer párrafo.

Como referencia sobre estas cosas, puedo recomendar el libro PDE de Taylor, que tiene un capítulo completo sobre varias definiciones de los espacios de Sobolev. (También por$\mathbb{R}^d$ siendo reemplazado por un colector cerrado).

1. Escalas elípticas

Ahora, con respecto al comentario sobre el soporte adecuado $\psi$hacer $\Lambda^s$ puede considerar el Lema 7.1 en Shubin $\psi$hacer el libro. De hecho, esto establece que en una variedad arbitraria$X$ (en particular, podrías tomar $X=\Omega$) que existe una escala de operadores debidamente respaldados $\Lambda^s\in \Psi^s_{\mathrm{cl}}(X)$(subíndice que denota clasicismo) con símbolos principales positivos. Shubin luego define los espacios locales de Sobolev por$H^s_\mathrm{loc}(X)=\{u\in \mathcal{D}'(X): \Lambda^su\in L^2_{\mathrm{loc}}(X)\}$ y demuestra que esto es equivalente a algunas otras definiciones.

El punto es que para una variedad general (no compacta) esto es lo mejor posible: no hay noción de $H^s(X)$sin especificar el comportamiento de sus funciones en el infinito. Si$X$ pasa a ser un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^d$ o una variedad cerrada, el comportamiento en el infinito (o más bien en el límite) se especifica al requerir que las funciones sean extensibles a través $\partial X$ y estamos en el marco de los primeros párrafos.

Y si $X$ tiene una métrica de Riemann $g$? Supongo que en este caso se podría definir$H^s(X,g)$ para $s\in \mathbb{N}$ al exigir que sus funciones satisfagan $X_1\dots X_k f \in L^2(M,g)$ para cualquier campo vectorial $X_1,\dots,X_k$ $(0\le k \le s)$ que satisfacen $\vert X_i \vert_g\in L^\infty(X)$. Para no enteros$s$ luego vía interpolación \ dualidad.

Si $(X,g)$ pasa a ser completo (como $\mathbb{R}^d$), luego Gaffney demostró que el laplaciano $1+\Delta_g$ tiene una realización única autoadjunta en $L^2(X,g)$ y supongo que se podría llamar a su dominio $\tilde H^2(X,g)$. Lo mismo es cierto para sus poderes y así podemos definir$\tilde H^s(X,g)$ para $s\in 2\mathbb{N}$ y extender a general $s$por interpolación / dualidad. No me sorprendería (pero no lo he comprobado), si de hecho$H^s(X,g)=\tilde H^s(X,g)$ en ese caso.

1. Poderes complejos

Estaba interesado en saber si puede definir espacios de Sobolev en $\Omega$vía poderes del laplaciano. Tiene más sentido tomar poderes de$P=1+\Delta$ (en analogía con $\mathbb{R}^d$) y de hecho hay una buena teoría que te dice que esto es posible, al menos si estás en una variedad cerrada. Entonces suponga que$\Omega$ vive dentro de una variedad riemanniana cerrada $(M,g)$ (y $\partial \Omega \in C^\infty)$, entonces $P^z$ está definido para todos $z\in \mathbb{C}$ y es un clasico $\psi$hacer de orden $\mathrm{Re}(z)$con las propiedades algebraicas obvias. (Esto se debe a Seeley, pero puedes encontrar un buen relato en el libro de Shubin).

Ahora es posible que desee definir $H^s(\Omega)=\{f:P^s f\in L^2(\Omega,g)\}$ y al menos por $s\in \mathbb{N}$ esto da lo mismo que se definió al principio, es decir $H^s(\Omega) = r H^s(M)$. Un criterio suficiente para que los dos espacios coincidan es que$P^s$satisface la llamada condición de transmisión en$\partial \Omega$: Esta es la Definición 18.2.13 en Hörmander y dice que $rP^se_0(C^\infty(\bar \Omega)) \subset C^\infty(\bar \Omega)$, dónde $e_0$denota extensión por cero. Ahora para enteros-poderes positivos$P^s$es un operador diferencial y claramente satisface la condición. Para potencias no enteras, esto podría fallar, como se menciona al comienzo de la página 184 aquí . Esto es todo lo que puedo decir al respecto en este momento.