Construyendo un isomorfismo entre dos campos finitos de orden 25.

Question

Los campos en cuestión son \ begin {ecuación *} \ mathbb {F} _5 [x] / (x ^ 2 + x + 1), \ \ mathbb {F} _5 (\ sqrt {2}). \ end {ecuación *} Sé que hay un isomorfismo entre los campos anteriores ya que son campos finitos del mismo orden. Mi idea era encontrar un generador del grupo de unidades de cada campo y construir un isomorfismo mapeando un generador con el otro.

encontre eso $x+2$ genera $(\mathbb{F}_5[x]/(x^2+x+1))^{\times}$ y $1+\sqrt{2}$ genera $\mathbb{F}_5(\sqrt{2})^{\times}.$ Entonces, llamando al mapa $\varphi$, Envío $x+2$ a $1+\sqrt{2}$ que da, después de reorganizar, $\varphi(x)=\sqrt{2}+4$ donde también utilicé que cualquier isomorfismo fijará el campo base $\mathbb{F}_5$. El problema es que el mapa\begin{align*} \varphi:&\mathbb{F}_5[x]/(x^2+x+1)\longrightarrow \mathbb{F}_5(\sqrt{2})\\ &a+bx \mapsto a+4b+b\sqrt{2} \end{align*} no satisface $\varphi(fg)=\varphi(f)\varphi(g)$ para todos $f,g \in \mathbb{F}_5[x]/(x^2+x+1).$ ¿Se debe esto a que el enfoque general es incorrecto?

Answer 1

Nos damos cuenta que $\omega$, una tercera raíz primitiva de la unidad, tiene como polinomio mínimo $f(x)=x^2+x+1 \in \mathbb{F}_5[x]$. Como$\omega=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2},$ esto da el siguiente isomorfismo $\varphi:$ \begin{align*} \varphi: \mathbb{F}_5[x]/(x^2+x+1) &\longrightarrow \mathbb{F}_5(\frac{-1+\sqrt{-3}}{2})\\ g(x)&\longmapsto g(\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}). \end{align*} Sin embargo, $-3=2 \in \mathbb{F}_5$ y $\mathbb{F}_5(\frac{-1+\sqrt{-3}}{2})=\mathbb{F}_5(\sqrt{-3})$entonces \ begin {ecuación *} \ mathbb {F} _5 [x] / (x ^ 2 + x + 1) \ cong \ mathbb {F} _5 (\ frac {-1+ \ sqrt {-3}} {2 }) = \ mathbb {F} _5 (\ sqrt {2}). \ end {ecuación *}