Convergencia uniforme de integral
Estoy tratando de entender esto por primera vez. Tengo que comprobar si$\int_{0}^{\infty} e^{-\alpha x}sin(x)dx$es uniformemente convergente o no. Supongo que no es convergente si$\alpha \in ]0,\infty[$pero no estoy 100% seguro de si probé que estaba bien, o cómo probarlo. Entonces lo que he hecho es:
Supongamos que es uniformemente convergente. Entonces hay un$p \in \mathbb{N}$ tal que $\forall \alpha \in]0,\infty[$ $$\left\lvert \int_{p}^{\infty} e^{-\alpha x}sin(x)dx \right\lvert < something$$ No estoy seguro de qué número poner en "algo" por una contradicción.
Y si esto es cierto, entonces la función $$f(\alpha)= \int_{p}^{\infty} e^{-\alpha x}sin(x)dx \hspace{0.1cm} , \alpha \in ]0,\infty[$$está ligado. Yo sé eso$\lim_{\alpha \to 0} f(\alpha)$no existe. ¿Es esto una contradicción? ¿Por qué esto contradice el hecho de que$f$¿está ligado? (Si$\lim_{\alpha \to 0} f(\alpha) = \infty$ No tendría ninguna duda, pero no es así, el límite simplemente no existe, así que no sé cómo justificarlo).
Espero haber tenido clara mi duda. ¡Gracias!
Respuestas
La integral es uniformemente convergente para $\alpha \in [a,\infty)$ dónde $a > 0$ por la prueba M de Weierstrass, pero no en $(0,\infty)$.
Para la primera integral, con $\alpha_n = (2n\pi + \pi)^{-1} \in (0,\infty)$ tenemos
$$\left|\int_{2n\pi}^{2n\pi+\pi} e^{-\alpha_nx_n} \sin x \, dx\right|\geqslant e^{-(2n\pi+\pi) \alpha_n}\int_{2n\pi}^{2n\pi+\pi} \sin x \, dx = 2 e^{-(2n\pi+\pi)\alpha_n}= 2e^{-1}$$
Dado que el RHS no converge a $0$ como $n \to \infty$, se infringe el criterio de Cauchy para la convergencia uniforme.