Convergencia uniforme de integral

Aug 20 2020

Estoy tratando de entender esto por primera vez. Tengo que comprobar si$\int_{0}^{\infty} e^{-\alpha x}sin(x)dx$es uniformemente convergente o no. Supongo que no es convergente si$\alpha \in ]0,\infty[$pero no estoy 100% seguro de si probé que estaba bien, o cómo probarlo. Entonces lo que he hecho es:

Supongamos que es uniformemente convergente. Entonces hay un$p \in \mathbb{N}$ tal que $\forall \alpha \in]0,\infty[$ $$\left\lvert \int_{p}^{\infty} e^{-\alpha x}sin(x)dx \right\lvert < something$$ No estoy seguro de qué número poner en "algo" por una contradicción.

Y si esto es cierto, entonces la función $$f(\alpha)= \int_{p}^{\infty} e^{-\alpha x}sin(x)dx \hspace{0.1cm} , \alpha \in ]0,\infty[$$está ligado. Yo sé eso$\lim_{\alpha \to 0} f(\alpha)$no existe. ¿Es esto una contradicción? ¿Por qué esto contradice el hecho de que$f$¿está ligado? (Si$\lim_{\alpha \to 0} f(\alpha) = \infty$ No tendría ninguna duda, pero no es así, el límite simplemente no existe, así que no sé cómo justificarlo).

Espero haber tenido clara mi duda. ¡Gracias!

Respuestas

2 RRL Aug 20 2020 at 15:18

La integral es uniformemente convergente para $\alpha \in [a,\infty)$ dónde $a > 0$ por la prueba M de Weierstrass, pero no en $(0,\infty)$.

Para la primera integral, con $\alpha_n = (2n\pi + \pi)^{-1} \in (0,\infty)$ tenemos

$$\left|\int_{2n\pi}^{2n\pi+\pi} e^{-\alpha_nx_n} \sin x \, dx\right|\geqslant e^{-(2n\pi+\pi) \alpha_n}\int_{2n\pi}^{2n\pi+\pi} \sin x \, dx = 2 e^{-(2n\pi+\pi)\alpha_n}= 2e^{-1}$$

Dado que el RHS no converge a $0$ como $n \to \infty$, se infringe el criterio de Cauchy para la convergencia uniforme.