Convexo, limitado y cerrado en la topología fuerte $\Rightarrow$ compacto en la topología débil

Question

La pregunta se lee así:

Dejar $X$ ser un espacio de Banach reflexivo y $K \subset X$ un conjunto.

i) Dado $r > 0$ definir la aplicación $T_r: X \rightarrow X$ como $T(x) = rx$. Muestra esa$T_r$ es continuo considerando en $X$ la topología débil en el dominio y el contradominio.

ii) Demuestre que si $K$ es convexo, acotado y cerrado en la topología fuerte, entonces $K$ es compacto en la topología débil.

Para el artículo i) utilicé que una aplicación lineal entre espacios de Banach es continua cuando ambos espacios usan la topología débil si y solo si es continua cuando ambos usan la topología fuerte. Ya que$T_r$ está limitado por la topología fuerte, es continuo en ella y, por lo tanto, continuo en la topología débil.

No entiendo cómo esto debería ayudar con el artículo ii).

Answer 1

Las funciones continuas asignan conjuntos compactos a conjuntos compactos. Entonces i), junto con Banach-Alaoglu, muestra que todas las bolas centradas en$0$ son compactos.

Estar limitado $K$está dentro de una bola. Al ser convexo y cerrado, está débilmente cerrado. Un subconjunto cerrado de un conjunto compacto, en un espacio de Hausdorff, es compacto.

Además, realmente no necesitas ninguna teoría para i). Si$x_n\to x$ débilmente, esto significa que $f(x_n)\to f(x)$ para todos $f\in X^*$. Ahora$$ f(T_rx_n)=f(rx_n)=rf(x_n)\to rf(x)=f(rx)=f(T_rx),\qquad f\in X^*. $$ Entonces $T_rx_n\to T_rx$ débilmente y $T_r$ es continuo (tenga en cuenta que uno está trabajando con redes aquí, pero nada cambia en el argumento).