Correspondencia de extensión de Kummer sin raíces de unidad (Serge Lang)
Estoy tratando de resolver el siguiente problema.
Dejar $k$ ser un campo de caracteristicas $0$. Suponga que para cada extensión finita$E$ de $k$, El índice $(E^* : E^{*n})$es finito para todo entero positivo n. Muestre eso para cada entero positivo$n$, existe sólo un número finito de extensiones abelianas de $k$ de grado $n$.
Si $k$ contiene una raíz n-ésima primitiva de unidad, se podría usar la correspondencia uno a uno de la extensión abeliana de $k$ de exponente ny subgrupos de $k^*$ que contiene los poderes n-ésimo de los elementos distintos de cero de $k$. Para este caso, una de las formas de resolver es como en la respuesta de esta publicación: Encuentre la biyección entre el campo de Kummer y el subgrupo de Galois .
Pero para $k$ no contiene n-ésima raíz de unidad, ¿tenemos algún tipo de correspondencia entre, digamos, la extensión abeliana de $k$ de exponente my extensión abeliana de $k(\zeta)$ de exponente n, de donde $\zeta$ Cuál es una raíz n-ésima primitiva de la unidad?
Observé que una extensión abeliana de $k$ del exponente n tiene un grado de extensión no mayor que el grado de extensión sobre $k(\zeta)$ de la extensión abeliana de $k(\zeta)$ del exponente n generado por el mismo conjunto, multiplicado por $\varphi(n)$, de donde $\varphi(n)$ denota la función de Euler.
Otra observación: suponga $k$no contiene raíces n-ésimas de unidad. Sea H un subgrupo de$k^*$ que contiene los poderes n-ésimo de los elementos distintos de cero de $k$, entonces $H$ y $\zeta^j$ juntos genera un subgrupo de $k(\zeta)^*$ que contiene los poderes n-ésimo de los elementos distintos de cero de $k(\zeta)$.
Respuestas
Dejar $L/k$ ser el compositum de todas las extensiones abelianas de grado como máximo $n$ encima $k(\zeta_n)$. Ya que$k$ tiene característica cero, $L/k$es separable. Entonces, desde$k(\zeta_n)$ tiene todo $n$-th raíces de la unidad, ya sabes que $L/k$es finito. Si$E/k$ es una extensión abeliana de grado $\leq n$, entonces $E(\zeta_n)$ es una extensión abeliana de $k(\zeta_n)$ de grado $\leq n$, por lo tanto $E\subset E(\zeta_n) \subset L$. Ya que$L/k$es separable, contiene como máximo un número finito de subextensiones. De ahí el conjunto de posibles$E$ es finito.