¿Cuál es el significado de “debido a la simetría de los coeficientes, si $x=r$ es un cero de $x^4+x^3+x^2+x+1$ entonces $x=\frac1r$ también es un cero "

Question

Estaba estudiando esta respuesta sobre factorización. $x^4+x^3+x^2+x+1$:

https://socratic.org/questions/how-do-you-factor-x-4-x-3-x-2-x-1

El autor dice: "Un enfoque algebraico más limpio es notar que debido a la simetría de los coeficientes, si $x=r$ es un cero de $x^4+x^3+x^2+x+1$ entonces $x= {1\over r}$ también es un cero "

Y finalmente escribe $x^4+x^3+x^2+x+1=(x^2+ax+1)(x^2+bx+1)$

Pregunta $1$: ¿Cuál es el significado de simetría de los coeficientes?

Pregunta $2$: ¿Podemos hacer el mismo enfoque para $x^4-x^3+x^2-x+1$? (Pregunto porque es relevante para mi otra pregunta:https://math.stackexchange.com/q/3792586)

Answer 1

La lista de coeficientes de$$x^4+x^3+x^2+x+1$$es $(1,1,1,1,1)$, que es simétrico (si lo inviertes, obtendrás la misma lista). En otras palabras, es una lista del tipo$(a,b,c,b,a)$. Y si$r(\ne0)$ es una raíz de$$ax^4+bx^3+cx^2+bx+a,\tag1$$entonces$$ar^4+br^3+cr^2+br+a=0,$$y por lo tanto$$a+\frac br+\frac c{r^2}+\frac b{r^3}+\frac a{r^4}=0$$también; en otras palabras,$\frac1r$ es también una raíz de $(1)$. Entonces, a menos que una de las raíces sea$\pm1$ (que son los únicos números iguales a sus propios inversos), $(1)$se puede escribir como \ begin {multline} a (xr) \ left (x- \ frac1r \ right) (x-r ') \ left (x- \ frac1 {r'} \ right) = \\ = a \ left (x ^ 2- \ left (r + \ frac1r \ right) x + 1 \ right) \ left (x ^ 2- \ left (r '+ \ frac1 {r'} \ right) x + 1 \ right). \ end {multline}

En particular, $x^4-x^3+x^2-x+1$ Se puede escribir como$$(x^2+ax+1)(x^2+bx+1)=x^4+(a+b)x^3+(ab+2)x^2+(a+b)x+1.$$Para encontrar $a$ y $b$, resuelve el sistema$$\left\{\begin{array}{l}a+b=-1\\ab+2=1.\end{array}\right.$$

Answer 2

Para responder a la pregunta original, el proceso de pensamiento es el siguiente:

(1) Si $r$ es una solución para $x^4-x^3+x^2-x+1=0$, entonces $r^4-r^3+r^2-r+1=0$.

(2) Divida ambos lados por $r^4$ usted obtiene $({1\over r})^4-({1\over r})^3+({1\over r})^2-({1\over r})+1=0$. Por lo tanto$1\over r$ también es una solución.

(3) Por tanto, si $(x-r)$ es un factor del polinomio entonces $(x-{1\over r})$ también es un factor.

(4) Por lo tanto, la ecuación se puede escribir como $(x-r)(x-{1\over r})(x-s)(x-{1\over s})$

(5) Por lo tanto, puede escribirse como $(x+ax+1)(x+bx+1)$