Cuál es el significado de volumen de sistema dinámico
https://en.wikipedia.org/wiki/Dynamical_systemexplica que el volumen del espacio de estados o espacio de fase es invariante. La nota de la conferencia titulada "11 atractores extraños y Lyapunov tenue". tomado del libro de Strogatz muestra en la ecuación (2) una transformación de coordenadas del volumen. Quiero entender si la prueba que se muestra en la nota significa que el volumen de los sistemas con atractor extraño es invariante bajo algún tipo de transformación, como la transformación de coordenadas. Mediante la transformación de coordenadas, podemos generar la reconstrucción del espacio de fase y usando eso podemos obtener un atractor extraño . Tras la elección adecuada de la configuración de parámetros para el sistema dinámico caótico, podemos ver lo extraño. Pero no puedo comprender la prueba.
Pregunta: ¿Alguien podría mostrar cómo demostrar que el volumen de los sistemas que tienen atractores extraños es invariante a la transformación y qué significa esto?
¿Se contrae o expande el volumen de atractores extraños?
ACTUALIZACIÓN: 18 de agosto
Basado en la discusión bajo los comentarios, esto es lo que podría escribir de todo lo que pudiera entender. Agradecerá ayuda para terminar la redacción de prueba de una manera elegante.
Prueba: el volumen del atractor extraño mostrado por los sistemas en dinámica caótica es invariante bajo alguna transformación y es una medida o una métrica.
Mi idea es que $n_a$ ser la dimensión atractora y $d$ ser la dimensión de incrustación y el atractor tiene un volumen $v$ con una dimensión atractora $n_a$. Si se dispone de series de tiempo con valores escalares, entonces podemos reconstruir el atractor en$d$ espacio de fase dimensional mediante el método de incorporación de retardo de Takens, $d \ge 2n+1$ dónde $n$es la dimensión del sistema observado. No tenemos conocimiento del valor real de$n_a$. Dado que, para sistemas disipativos, el volumen$v \le 0$, si y solo si $n \le n_a$, y es igual a cero ya que su dimensión es menor que $n_a$. Por tanto, cualquier sistema disipativo conserva el volumen del atractor, que es cero. En cuanto al cambio de coordenadas, dado que el atractor es un conjunto de medidas cero, la imagen del atractor bajo cualquier mapa uniforme también será medida cero.
Ahora, ¿cómo demuestro que el atractor es una medida establecida en cero y es una métrica como la medida de Lebesgue? ¿Puede alguien ayudarme a escribir formalmente esta prueba? Gracias.
Respuestas
Cuando dicen volumen, realmente quieren decir "medir". Una medida en un espacio$X$ es una función $\mu$ que asigna longitudes (o áreas, o volúmenes o probabilidades, el espacio específico $X$ o el contexto suele dictar cómo piensa usted de lo que es la medida, bueno, medir) a los sujetos $X,$ donde "agradable" significa de antemano que alguien seleccionó algunos subconjuntos de $X$que podemos medir. Estos se denominan conjuntos medibles.
Un mapa $T : X\rightarrow X$ se ha dicho $\mu$-invariante si (a) siempre $S$ es medible, también lo es $T^{-1}(S)$, y B) $\mu(T^{-1}S) = \mu(S)$ cuando $S$ es medible.
En cuanto a cómo comprobarlo, esto depende mucho de los detalles. Un truco increíblemente común y útil es que no necesita verificar que las condiciones (a) o (b) se cumplan para cada subconjunto medible, si marca (a) y (b) en una familia de conjuntos que 'genera' la colección de conjuntos medibles, entonces puede concluir que se mantiene en todas partes. Por ejemplo, si tu espacio fuera$X = [0, 1]$ con la habitual "medida de Lebesgue" asignando un subconjunto de $X$ su longitud, bastaría con comprobar que $T$ conserva medidas de intervalos.
Un par de cosas:
- Note la nota debajo de la ecuación 2:
Los sistemas disipativos tienen atractores, mientras que los sistemas de conservación de volumen no pueden tener atractores ni repelentes.
Esto es cierto en el sentido en que "volumen" significa la medida de Lebesgue, es decir, la definición normal de volumen en $\mathbb{R}^n$. Los atractores son necesariamente de una dimensión menor que el propio espacio de fase, por lo que su volumen (en el sentido de Lebesgue) debe ser 0; por ejemplo, el volumen de una superficie en$\mathbb{R}^3$es 0 ya que la superficie es bidimensional. Quizás esta preservación de volumen sea trivial porque el atractor necesariamente tiene un volumen de Lebesgue cero.
Así que esto parece responder a su pregunta a primera vista. Sin embargo, la dinámica de los atractores extraños suele ser ergódica , que es la sección que está leyendo en el primer artículo de Wikipedia. La dinámica ergódica generalmente tiene algo llamado medida invariante , lo que significa que existe una noción de volumen (la medida) que es preservada por la dinámica (invariante). Por lo tanto, si se puede parametrizar el atractor, es decir, encontrar un cambio de coordenadas de$\mathbb{R}^n$ al atractor, entonces se conservará el "volumen" en el sentido de la medida invariante del atractor y la dinámica.