¿Cuál es el valor que hace la longitud mínima del intervalo de confianza?

Question

Una variable aleatoria $X$ sigue $$f(x|\theta)=\frac{1}{2}e^{-|x-\theta|} \quad -\infty<x<\infty$$

Considero de un intervalo de confianza de $\theta$, $S(X)=[X-b,X+c]$.

Cuando establezco el nivel de confianza en $1-\alpha$, cuales son los valores de $b$ y $c$ que hace que la longitud mínima del intervalo de confianza $d=b+c$?

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Lo que he encontrado

La pregunta anterior a esta preguntaba sobre la probabilidad de $${\theta-c \leq X \leq \theta +b}$$

y obtuve la respuesta fácilmente $$\int_{\theta -c }^{\theta+b } f(x|\theta) dx=\frac{1}{2}(e^b-e^c)$$

Creo que si necesito un intervalo de confianza de $/theta$, Necesito configurar $$P(X-b\leq\theta\leq X+c)>1-\alpha$$ pero no conozco el PDF de $\theta$. Aquí es donde me quedé atascado.

¿Alguien puede ayudarme?

Answer 1

Dado que el pdf que proporcionó es un pdf condicional de X bajo θ dado, es posible derivar el intervalo de confianza (CI) de X bajo θ dado, pero no el CI de θ.

Por el contrario, si la función de densidad de probabilidad de f (θ | x) viene dada por la misma expresión, entonces el IC más corto de θ puede derivarse como S (x) = [x + ln (alfa) x-ln (alfa)].

Answer 2

Hay un error en su resultado de probabilidad (que debería quedar claro por el hecho de que no tiene límites). Usando el intervalo$\text{CI}(X) = [X-b, X+c]$ debe tener la probabilidad de cobertura:

$$\begin{align} \mathbb{P}(\theta \in \text{CI}(X)) &= \mathbb{P}(X-b \leqslant \theta \leqslant X+c) \\[6pt] &= \mathbb{P}(\theta-c \leqslant X \leqslant \theta+b) \\[6pt] &= \int \limits_{\theta-c}^{\theta+b} \text{Laplace}(x|\theta,1) \ dx \\[6pt] &= \frac{1}{2} \int \limits_{\theta-c}^{\theta+b} e^{-|x-\theta|} \ dx \\[6pt] &= \frac{1}{2} \Bigg[ \ \int \limits_{\theta}^{\theta+b} e^{-x+\theta} \ dx - \int \limits_{\theta}^{\theta+c} e^{-x+\theta} \ dx \Bigg] \\[6pt] &= \frac{1}{2} \Bigg[ (1-e^{-b}) - (1-e^{-c}) \Bigg] \\[6pt] &= \frac{e^{-c} - e^{-b}}{2}. \\[6pt] \end{align}$$

(Observe que, a diferencia de su resultado, este se acerca a uno cuando $b \rightarrow \infty$ o $c \rightarrow \infty$.) Por lo tanto, encontrar el intervalo de confianza óptimo de esta forma requiere que resuelva el siguiente problema de optimización:

$$\text{Minimise } b+c \quad \text{ subject to } \quad e^{-c} - e^{-b} = 2(1-\alpha).$$

Con un poco de trabajo, debería ser posible que demuestre que el óptimo se produce cuando $b=c$, de modo que el intervalo de confianza óptico es uno con punto medio en $x$. Esto no es sorprendente, dado que la distribución de Laplace es simétrica alrededor del parámetro medio$\theta$.