¿Cuál es la curvatura media de un cilindro infinitamente largo?

Aug 18 2020

¿Alguien puede ayudarme a entender cómo puedo calcular la curvatura media de un cilindro infinitamente largo de radio?$R$? Conozco la definición de curvatura media como

$H = \frac{1}{2}(\kappa_1 + \kappa_2)$

dónde$\kappa_i$es el$i$curvatura principal. Como el cilindro es infinitamente largo, creo$\kappa_2 = 0$(a lo largo del eje). Puede alguien confirmar esto?

Entonces la curvatura media de un cilindro infinitamente largo con radio$R$sería simplemente

$H = \frac{1}{2R}$

¡Gracias por tu ayuda!

Respuestas

2 JeppeStigNielsen Aug 18 2020 at 14:06

Tu resultado es correcto.

Elija un punto en la superficie cilíndrica. Debes convencerte de que una dirección principal es perpendicular al eje del cilindro (pero a partir de tu punto de la superficie). A lo largo de esta dirección, la superficie parece un círculo con radio$R$, por lo que la curvatura principal para esta dirección es$\kappa_1=\frac1R$. La otra dirección principal es paralela al eje del cilindro y, a lo largo de esta dirección, las superficies se ven (localmente cerca de su punto) como una línea recta, por lo que$\kappa_2=0$. Así que de la fórmula$H=\frac12 (\kappa_1+\kappa_2)$obtienes la curvatura media que mencionas.

Como dice TonyK, esto es lo mismo para cualquier punto que elijas. Así que si consideras$H$como una función, asignando cada punto en la superficie a un número real, luego$H$es constante, para la superficie cilíndrica.

Como vemos, la curvatura media es una propiedad local , por lo que no importa si el cilindro es infinitamente largo o no; siempre que haya una vecindad alrededor del punto que considere, donde la superficie es un cilindro, entonces la curvatura media en ese punto es$\frac1{2R}$.