¿Cuál es la forma correcta de escribir una multiplicación entre escalar y vector?

Dec 30 2020

La regla de la multiplicación de matrices establece que el número de columnas del operando izquierdo es igual al número de filas del operando derecho.

$M*N$ si M tiene $n$ columnas y N deben tener $n$ filas.

Siguiendo esta convención, la forma natural de escribir una multiplicación entre un vector y un escalar es poner el vector en el lado izquierdo, tomando el escalar como una matriz de 1 por 1.

sin embargo, descubrí que, con bastante frecuencia, las personas no siguen la regla anterior: usando la descomposición propia como ejemplo:

wiki de descomposición propia

$A\upsilon=\lambda\upsilon$

¿Existe alguna regla empírica que nos oriente cuando debemos poner un escalar en el lado izquierdo?

Respuestas

2 StanislavBashkyrtsev Dec 30 2020 at 16:55

La multiplicación escalar y la multiplicación de matrices son 2 operaciones independientes. A pesar de que tienen la misma palabra "multiplicación", son completamente diferentes.

La multiplicación de matrices no es conmutativa, por lo que debe colocar la matriz correcta en el lado derecho, no se trata de convenciones. Los escalares son conmutativos y puedes ponerlos a ambos lados.

No creo que exista una convención escrita per se: la gente simplemente se acostumbró a poner coeficientes antes que otros términos. Si pones un escalar a la derecha, dependiendo del campo en el que estés trabajando, algunas personas que lean tus expresiones pueden detenerse y pensar "hugh, espera, ¿estamos trabajando con álgebra no conmutativa?" por un momento. También algunas personas pueden pensar "hugh, ¿esto es un escalar o me falta algo?". Un lector puede necesitar algunos ciclos cerebrales adicionales, por lo que mantendría los escalares a la izquierda, pero probablemente no será una tragedia si los pone del otro lado.

Si bien es posible imitar la multiplicación escalar usando$1\times n$ o $n \times 1$matrices: eso no es lo que es en esencia. Nuevamente, estas son operaciones diferentes y solo una de ellas es conmutativa.

1 PaulFrost Dec 30 2020 at 16:58

Esto es solo una cuestión de convenciones de notación. Por lo general, los axiomas de un espacio vectorial se formulan escribiendo la multiplicación escalar en la forma$$\lambda \cdot v$$ dónde $v \in V$ y $\lambda$ pertenece al campo de tierra $K$. El motivo es que normalmente entendemos que en el producto$\mu \cdot \lambda$ de elementos de $K$tenemos un primer factor$\mu$y un segundo factor$\lambda$. En un campo (cuya multiplicación es conmutativa) el orden de los factores parece ser irrelevante (porque$\mu \cdot \lambda = \lambda \cdot \mu$), pero en un anillo $R$(cuya multiplicación es en general no conmutativa) el orden es esencial. Esto se aplica, por ejemplo, al anillo de$n\times n$-matrices sobre un campo. Uno de los axiomas de un espacio vectorial es$$(\mu \cdot \lambda) \cdot v = \mu \cdot (\lambda \cdot v)$$ que es mnemotécnicamente más fácil que la misma fórmula escrita a través de la multiplicación escalar desde la derecha $$v \cdot (\mu \cdot \lambda) = (v \cdot \lambda) \cdot \mu .$$ Bien, para un campo esto no hace mucha diferencia ya que dice lo mismo que $$v \cdot (\lambda \cdot \mu) = (v \cdot \lambda) \cdot \mu .$$Pero tenga en cuenta que el concepto de espacio vectorial se puede generalizar al de un módulo sobre un anillo$R$y aquí el orden marca la diferencia. De hecho, se distingue entre izquierda y derecha$R$-módulos. Para la izquierda$R$-módulos uno suele escribir multiplicidad escalar como $\lambda \cdot v$, por derecho $R$-módulos como $v \cdot \lambda$. Vea aquí .

Ahora vayamos al meollo de su pregunta. El producto de matriz$A \bullet B$ generalmente se define para un $m\times n$ matriz $A$ y un $n\times p$ matriz $B$, es decir, requerimos que el número de columnas de $A$ es igual al número de filas de $B$. Como dices, un escalar$\lambda$ puede ser considerado el $1 \times 1$ matriz $(\lambda)$. Así se definen las siguientes dos expresiones:$$(\lambda) \bullet A \text{ for } 1 \times n \text{ matrices } A \tag{1} $$ $$A \bullet (\lambda) \text{ for } n \times 1 \text{ matrices } A \tag{2} $$ En $(1)$ $A$se llama vector fila , en$(2)$un vector de columna .

Por tanto, depende de su notación favorita: si considera elementos de $K^n$ como vectores de fila, tienes que usar $(1)$, si los considera como vectores columna, debe escribir $(2)$.

De todos modos, esto solo es relevante si insistes por todos los medios en entender el producto escalar de$\lambda$ y $A$como un producto de matriz. Generalmente para$A = (a_{ij})$ uno simplemente define $$ \lambda \cdot (a_{ij}) = (\lambda \cdot a_{ij}) .$$ Al hacerlo, no importa si considera elementos de $K^n$ como vectores de fila o como vectores de columna.