¿Cuál es la intuición detrás de Bures y las métricas de ángulos?
Estoy leyendo medidas de distancia para comparar procesos cuánticos reales e ideales y se explica la motivación detrás de la métrica de Bures y la métrica de ángulo.
La métrica de Bures se define como:
$$B(\rho,\sigma)=\sqrt{2-2 F(\rho,\sigma)}$$
La métrica del ángulo se define como:
$$A(\rho,\sigma)=\arccos(\sqrt{F(\rho,\sigma)})$$
Dónde $F(\rho,\sigma)$ es la fidelidad entre $\rho$ y $\sigma$matrices de densidad. Dice que podemos entender tal motivación en estados puros: veríamos que proviene de la distancia euclidiana habitual.
Si hago tales cálculos, definiría la distancia euclidiana como:
$$d(X,Y)=||X-Y||=\sqrt{\langle X-Y | X-Y \rangle}=\sqrt{2-2 Re(\langle X | Y \rangle)} $$
Para encontrar la métrica de Bure, debo asumir $\langle X | Y \rangle \geq 0$.
Pero, ¿por qué sería el caso? Por ejemplo, si considero:
$$|\psi \rangle = | a \rangle + |b \rangle $$
No puedo cambiar la fase relativa entre $|a \rangle$ y $|b \rangle$ como yo quiera (porque cambiaría el estado físico $|\psi \rangle$). Así que si$\langle a | b \rangle $ no es un número positivo, supongo que no hay mucho que pueda hacer al respecto.
¿Cómo entender entonces la intuición detrás de tal métrica? ¿Debería realmente considerarlo como una definición "abstracta" en la que verifico que satisface los axiomas de una métrica? Pero sería extraño en la forma en que el documento explica la motivación detrás.
Pregunta similar para la métrica del ángulo.
[editar]: Creo que podría deberse al hecho de que queremos definir una distancia entre los estados físicos . Considerando$|\Phi \rangle$ y $| \Psi \rangle$dos estados físicos, su fase global no importa. Así, para tener una fórmula sencilla podemos elegir sus fases$\phi_{\Psi}, \phi_{\Phi}$ así que eso $\langle \Psi | \Phi \rangle \geq 0$ que corresponden al límite superior: $\sup_{\phi_{\Psi}, \phi_{\Phi}}(Re[\langle \Psi | \Phi \rangle])=\langle \Psi | \Phi \rangle$. De alguna manera tiene sentido porque estamos interesados en la distancia entre estados físicos y no matemáticos. Por tanto, podemos fijar las fases globales de los dos estados como queramos.
Tiene sentido ?
Respuestas
Completar una serie de detalles en aras de una respuesta completa:
A partir del artículo vinculado, Medidas de distancia para comparar procesos cuánticos reales e ideales [arXiv: quant-ph / 0408063] , la definición de fidelidad se da en Eqn. (4) como$$ F(\rho,\sigma) = \mathrm{tr}\Bigl( \!\sqrt{\sqrt{\rho} \!\phantom|\sigma \phantom|\!\!\sqrt{\rho}\phantom|}\Bigr)^2$$- que puede parecer un poco intimidante, pero demuestra dos cosas importantes sobre la fidelidad: que se define en general en operadores de densidad (no solo en vectores de estado) y que siempre es un número real no negativo. Si desea calcularlo para estados puros, la definición anterior termina siendo equivalente a$$ F(\lvert \psi\rangle\! \langle \psi\rvert,\lvert \phi\rangle\! \langle \phi\rvert) = \langle\psi\vert \phi\rangle\! \langle\phi\vert \psi\rangle = \bigl\lvert \langle\psi\vert \phi\rangle \bigr\rvert^2$$ que es siempre un real no negativo y, en particular, que no depende de ninguna fase global que pueda considerar para el estado $\lvert \psi \rangle$ o $\lvert \phi \rangle$ (que no es información física sobre el estado).
La métrica de Bures (de la segunda columna de la página 4) es entonces $$ B(\rho,\sigma) = \sqrt{2 - 2\sqrt{F(\rho,\sigma)}} $$ que para estados puros se simplifica a $$\begin{aligned} B(\lvert \psi\rangle\! \langle \psi\rvert,\lvert \phi\rangle\! \langle \phi\rvert) &= \sqrt{2 - 2\sqrt{F(\lvert \psi\rangle\! \langle \psi\rvert,\lvert \phi\rangle\! \langle \phi\rvert)}} \\&= \sqrt{2 - 2\bigl\lvert \langle\psi\vert \phi\rangle \bigr\rvert} \\&= \sqrt{2 - 2 \max \langle\psi'\vert \phi'\rangle},\end{aligned} $$ donde el máximo se toma sobre los vectores unitarios $\lvert \psi'\rangle \propto \lvert \psi\rangle$ y $\lvert \phi'\rangle \propto \lvert \phi\rangle$.
Pregunta (no sin razón) por qué, para estados puros, tomaría el valor absoluto $\lvert \langle \psi \vert \phi \rangle \rvert$, en lugar de la parte real $\mathrm{Re}\,\langle \psi \vert \phi \rangle$ como lo haría si estuviera tratando directamente con los productos internos de los vectores $\lvert \psi \rangle$ y $\lvert \phi \rangle$. La respuesta es que, debido a que estamos interesados en los estados y no en vectores particulares que representan esos estados, trabajar directamente con los vectores de estado no proporcionará necesariamente una respuesta sensata. Por un estado$\lvert \phi' \rangle \propto \lvert \phi \rangle$, los valores de $\mathrm{Re}\,\langle \psi \vert \phi \rangle$ y $\mathrm{Re}\,\langle \psi \vert \phi' \rangle$ por lo general no será lo mismo, pero si usamos $\lvert \phi' \rangle$ o $\lvert \phi \rangle$representar al Estado debería ser una elección puramente arbitraria sin impacto ni en la física ni en nuestro análisis de la física. Cualquier elección de fórmula debe ser estable bajo tales elecciones arbitrarias, y además (para una métrica) debe producir el valor$0$ si tuviéramos que considerar diferentes formas $\lvert \phi' \rangle$ y $\lvert \phi \rangle$ para representar el mismo estado.
Tenga en cuenta que, al final del día, su comentario sobre la simplificación a la métrica euclidiana probablemente haya sido un intento rápido de proporcionar intuición, en lugar de un intento serio de proporcionar una declaración formal. Sin embargo, hay un sentido en el que tomar el valor absoluto (o si lo prefiere, el producto interno máximo entre estados equivalentes hasta fases globales) es el enfoque correcto para considerar la conexión con la "distancia euclidiana" entre "estados", y Espero que esto sea lo que tienen en mente.