¿Cuál es la relación entre Lipschitz y $BMO$ espacios?

Aug 17 2020

Dejar $0 < \alpha < 1$. El espacio$\text{Lip}_{\alpha}(\mathbb{R}^n)$ de las funciones continuas de Lipschitz con orden $\alpha$ es

$$ \text{Lip}_{\alpha}(\mathbb{R}^n)=\{f: |f(x)-f(y)|\le C|x-y|^{\alpha} \quad\text{ for a.e. }\,x, y \in \mathbb{R}^n\}. $$ La constante más pequeña $C$ se llama el $\text{Lip}_{\alpha}(\mathbb{R}^n)$ norma de $f$ y se denota por $\|f\|_{\text{Lip}_{\alpha}(\mathbb{R}^n)}$.

Esta norma tiene la siguiente representación integral:

$$ \|f\|_{\text{Lip}_{\alpha}(\mathbb{R}^n)}\thickapprox\sup_{B}\frac{1}{|B|^{1+\alpha/n}}\int_{B}|f(x)-f_{B}|dx, $$ dónde $f_{B}=\frac{1}{|B|}\int_{B}f(y)dy$. Está claro que para$\alpha=0$ el lado derecho es la definición de $BMO$ norma de $f$.

De acuerdo con estos hechos podemos decir que el espacio de Lipschitz incluye $BMO$¿espacio? ¿Cuál es la relación entre Lipschitz y$BMO$ espacios?

Respuestas

2 shalop Aug 19 2020 at 01:40

Voy a definir un montón de espacios que describen funciones de "regularidad $\alpha$" en algún sentido.

Espacios de Hölder: Aquí$\alpha$ Estará en $[0,1]$. Definir$Lip_{\alpha}(\Bbb T^n)$ ser el espacio de todas las funciones $f:\Bbb T^n \to \Bbb R$ tal que $|f(x)-f(y)| \leq C|x-y|^{\alpha}$ para algunos $C>0$ independiente de $x,y \in \Bbb T^n$. La constante más pequeña$C$ se llama el seminario Holder, denotado por $[f]_{\alpha}$. La norma espacial de Banach en$Lip_{\alpha}(\Bbb T^n)$ es definido por $\|f\|_{L^{\infty}(\Bbb T^n)}+[f]_{\alpha}.$ Tenga en cuenta que cuando $\alpha = 0$ acabamos de conseguir $L^{\infty}(\Bbb T^n)$. De manera equivalente, se puede describir$Lip_{\alpha}(\Bbb T^n)$ como el conjunto de funciones $f$ tal que $\sup_{x\in Q}|f(x)-f_Q| \leq C|Q|^{\alpha/n},$ para todos los cubos $Q \subset \Bbb T^n$, dónde $f_{Q} := \frac1{|Q|} \int_Q f$y $|Q|$ es la medida de Lebesgue de $Q$. (Es difícil probar esta equivalencia).

Espacios Besov: Aquí$\alpha$puede ser cualquier número real. Cualquier función$f:\Bbb T^n \to \Bbb R$admite una descomposición canónica llamada descomposición de Littlewood-Paley $f = \sum_{j\ge 0} f_j$. El espacio Besov$B^{\alpha}_{\infty,\infty}(\Bbb T^n)$ consta de esas funciones $f$ tal que $\|f_j\|_{L^{\infty}(\Bbb T^n)} \leq C2^{-\alpha j}$ para algunos $C$ que es independiente de $j$. La constante más pequeña$C$para lo que se cumple la desigualdad se denomina norma de Besov. Esto induce una estructura espacial de Banach en$B^{\alpha}_{\infty,\infty}$. El espacio$B^1_{\infty,\infty}$se llama la clase Zygmund y se describe de manera equivalente como el conjunto de todas las funciones$f$ tal que $$|f(x+h)+f(x-h)-2f(x)| \leq C|h|,$$ y $B^0_{\infty,\infty}$ consiste en las derivadas distributivas de funciones de la clase Zygmund.

Espacios BMO: Aquí$\alpha$ Estará en $[0,1]$. Definamos el espacio$BMO_{\alpha}(\Bbb T^n)$ ser el espacio de todas las funciones $f:\Bbb T^n \to \Bbb R$ tal que $\sup_Q \frac{1}{|Q|^{1+\alpha/n}}\int_{Q} |f-f_Q|dx <\infty$, donde el sup es sobre todos los cubos $Q\subset \Bbb T^n$y $f_{Q} := \frac1{|Q|} \int_Q f$y $|Q|$ es la medida de Lebesgue de $f$. La norma en$BMO_{\alpha}$ se define como ese supremo, lo que lo convierte en un espacio de Banach.

Espacios funcionales continuos: aquí$\alpha=:k$ debe tomar valores en $\Bbb N$. Luego$C^{k}(\Bbb T^n)$ se define como el conjunto de todas las funciones $f:\Bbb T^n \to \Bbb R$ tal que todas las derivadas parciales de orden hasta $k$son continuos. La norma se define como la suma de las normas uniformes de todas las derivadas parciales hasta el orden$k$. Nuevamente, obtenemos un espacio de Banach.


Entonces ahora la pregunta es: ¿cómo se relacionan todos estos espacios?

Teorema 1: Si$\alpha \in (0,1)$ luego $$ Lip_{\alpha}(\Bbb T^n) = B^{\alpha}_{\infty,\infty} (\Bbb T^n)= BMO_{\alpha}(\Bbb T^n).$$ Todas las normas son equivalentes.

Teorema 2: Para$\alpha = 0$ tenemos las siguientes inclusiones: $$C^0(\Bbb T^n) \subsetneq L^{\infty}(\Bbb T^n) \subsetneq BMO_0(\Bbb T^n) \subsetneq B^0_{\infty,\infty}(\Bbb T^n).$$Entonces ninguna de las normas es equivalente. por$\alpha=1$ tenemos la secuencia correspondiente de inclusiones adecuadas.

Básicamente, las equivalencias en el Teorema 1 siempre se reducen a un cálculo en bloques diádicos. Fallan por$\alpha=0$ debido al hecho de que la serie $\sum 2^{-\alpha n}$ diverge para $\alpha=0$.

Lo siento si esto no estaba claro. Intentaré actualizar con referencias.