¿Cuáles son algunos de los primeros ejemplos de continuación analítica?

Question

Me pregunto cómo supo Riemann eso $\zeta(z)$podría extenderse a un dominio más grande. En particular, ¿quién fue la primera persona en extender explícitamente el dominio de una función valorada compleja y cuál fue la función?

Answer 1

(Ampliado el 26/1/21

Primero, permítanme señalar para los hablantes no nativos de inglés que el uso del artículo 'a' en la frase 'una función de valor complejo' significa que la pregunta no se refiere únicamente a la función de Riemann o cualquier otra función zeta. Incluye cualquier función cuyo dominio sea algún conjunto de reales, así que interpreto la pregunta como "¿Quién es el primero en haber publicado una extensión del dominio de una función significativa desde algún conjunto de reales a algún dominio continuo del complejo, y cuál fue esa función? " Para mí, el significado exacto del término continuación analítica y si es único o no es una cuestión diferente.

La primera oración y varios de los comentarios se centran en la función zeta de Riemann. Riemann no estaba solo y sus intereses eran mucho más amplios de lo que podría implicar el enfoque, a veces casi obsesivo, actual en la RH. Sus intereses abarcaban prácticamente todo el análisis complejo, por lo que era natural para él considerar extensiones de funciones reales a funciones complejas.

Es difícil de creer (huele a algún tipo de sesgo regional) que ningún matemático antes de Euler, se despertó una mañana y pensó: "¿Qué pasa si modifico mis fórmulas reales para incluir esa loca raíz cuadrada de -1?" Roger Cotes estaba preparado para hacerlo de manera significativa con su interés en la astronomía y la mecánica celeste; familiaridad con el trabajo de su colega Newton sobre las series de repeticiones de las funciones trigonométricas, sus inversas, el cálculo y la mecánica newtoniana; el uso de las tablas logarítmicas introducidas a principios del siglo XVII por Napier para hacer frente a los cálculos con grandes números encontrados en la topografía de la Tierra y los cielos; y trabajo de interpolación (Cotes y Newton).

Permítaseme enfatizar nuevamente que Cotes estaba familiarizado con la inversión compositiva de series de potencias de Newton (una fórmula incluye la versión asociativa de la fórmula de inversión de Lagrange para series formales, ver Ferraro a continuación), incluida la de la función exponencial y, como señaló Griffiths ' comentario al post " La elaboración del logaritmo " de Freiberger: Sin estas tablas de logaritmos no habría teoría de Nicholas Mercator del área bajo una hipérbola simétrica que iguale el logaritmo de la distancia a lo largo del eje x, ni de la reversión de Isaac Newton de la fórmula de la hipérbola para lograr la serie infinita para el antilogaritmo $e^x$. (Mapas de Mercator, ¿comienzan a ver los puntos?) De hecho, Ferraro analiza en las páginas 74 y 75 de "El surgimiento y desarrollo de la teoría de la serie hasta principios de la década de 1820" cómo Newton invirtió la serie de potencias para el logaritmo.$-\ln(1-x)$ para obtener la serie de potencias del antilogaritmo $1- e^{-x}$. (Newton, con su excelente dominio de la geometría y el análisis, seguramente habría notado aquí también la relación del teorema de la función inversa simple entre las derivadas de las dos series).

En consecuencia, parece natural que en el nacimiento del cálculo y su asociación con series de potencia e inversas composicionales, Cotes escribió en 1714, cuando Euler tenía siete años,

$$ ix = \ln[ \;\cos(x) + i \sin(x) \;]$$

una versión naciente de la fabulosa fórmula de Euler de 1748 (cf. Wikipedia )

$$ e^{i\theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta).$$

Una comprobación obvia con la derivada (o fluxiones) verifica la fórmula sin el uso explícito de la exponencial.

$$ \frac{d}{dx} (ix +constant) = i = \frac{d}{dx} \; \ln[ \;\cos(x) + i \sin(x) \;]= \frac{-\sin(x) + i \cos(x)}{\cos(x) + i \sin(x)},$$

que estoy seguro fue SOP para Newton y Cotes - aplicación de la regla de la cadena, también conocido como teorema de la función inversa en este caso, $dx = df(f^{-1}(x)) = f'(f^{-1}(x)) \; (f^{-1})'(x) \; dx$, lo que de hecho hace que la fórmula sea obvia.

En "La historia de los conceptos exponenciales y logarítmicos", Cajori explica cómo John Bernoulli consideró las soluciones de una ecuación diferencial transformada de lo real a lo imaginario en 1702 y da la derivación de Cotes de su fórmula, que Cotes publicó en 1714 y 1722. Cajori también afirma que, posteriormente, Euler no tuvo reparos en utilizar números imaginarios.

La fórmula de Euler tal como está escrita hoy tuvo que esperar el desarrollo por Euler y sus colegas de la representación simbólica de la función exponencial. $\exp(z) = e^z$ con $e$siendo la constante de Euler, a veces denominada constante de Napier, ya que aparece en las tablas de registro de Napier. Esto fue después de que Huygens y otros explicaran muchos cálculos subyacentes al registro. La función exponencial a veces incluso se denominaba "antilogaritmo", lo que refleja la prioridad del registro, como se indica en la publicación del registro.

La fórmula logarítmica de Cote es una extensión de los reales positivos al ámbito de los números complejos del argumento del logaritmo de una manera bastante más difícil que simplemente reemplazando $n$ en la serie rep de $\zeta(n)$ por números reales en la línea real y luego a otros números en el plano complejo.

Según el artículo de Wikipedia sobre Cotes, publicó un teorema importante sobre las raíces de la unidad (y dio el valor de un radián por primera vez) en 1722 en "Theoremata tum logometrica tum triogonometrica datarum fluxionum fluentes exhibentia, per methodum mensurarum ulterius extensam "(Teoremas, algunos logorítmicos, otros trigonométricos, que producen los fluidos de las fluxiones dadas mediante el método de medidas más desarrollado). Entendió la trigonometría bastante bien, y desde esta perspectiva, tanto las fórmulas de Cotes como las de Euler pueden considerarse como la continuación de las soluciones de$|x| = 1$en el plano complejo. Las soluciones definen la función muy simple con el dominio 1 y -1 y el rango 1, que luego se continúa analíticamente como un círculo de radio 1 en el dominio complejo, un tipo de interpolación (coloque el cursor sobre el enlace de interpolación en Wiki en Roger Cotes ) satisfaciendo una ecuación funcional simple$|f(x)|=1$. (Otros ejemplos de tipos de interpolación / continuación analítica de funciones con dominios enteros discretos a aquellos con dominios complejos continuos (relacionados con Newton y las interpolaciones de series sinc / cardinales) se dan en este MO-Q y este MSE-Q .)

Desde una perspectiva más amplia, la fórmula de registro de Cotes es un claro ejemplo de continuación analítica del registro como un mapeo de los números reales a lo real para un mapeo de lo complejo a lo complejo. Cotes, por supuesto, era consciente de que (de hecho lo utilizaba, y habría dado por sentado que cualquiera que estuviera familiarizado con el registro también lo supiera), porque$u,v > 0$,

$$\ln(u)+\ln(v) = \ln(uv),$$

por lo que escribió la parte más difícil de la continuación analítica del registro de los reales positivos al complejo (aunque sin tener en cuenta explícitamente la multiplicidad)

$$\ln(r) + ix = \ln[\; r\; (\;\cos(x) + i \; \sin(x)\;) \;].$$

Las referencias en Wikipedia: John Napier , La Historia de los logaritmos , Logaritmo , Roger Cotes , la identidad de Euler , la fórmula de Euler .

Además de la suma de Euler con argumentos complejos, Euler fue el primero en extender el factorial a la función gamma para argumentos complejos para desarrollar un cálculo fraccional con su representante integral híbrido de Mellin-Laplace para la función gamma (ver " El legado de Euler a la física moderna "por Dattoli y Del Franco y el MSE-Q mencionado anteriormente). La integral de Euler para la función beta permite lo mismo para los coeficientes binomiales generalizados, que Newton (nuevamente, colega de Cotes) había hecho para la extensión a los reales de los coeficientes binomiales enteros. Desafortunadamente, Euler no entendió completamente la extensión a números complejos (Argand y Wessel vienen más tarde) de lo contrario, habría sacado a Cauchy, Liouville y Riemann en el cálculo del análisis complejo.

Para obtener una prehistoria de la función zeta de Riemann, consulte " Aspectos de la teoría de la función Zeta en las obras matemáticas de Adolf Hurwitz " de Oswald y Steuding. Los autores no dicen si 's' es real o complejo en su discusión sobre la prehistoria de zeta. Habría sido natural para Euler y otros antes de Riemann considerar$s$complejo. Euler tenía la asociación a las potencias de pi para argumentos incluso enteros de zeta que habrían sugerido una conexión con el complejo a través de su fórmula fabulosa y su fórmula de reflexión para la función gamma, pero entonces no tenía mucho que deducir de esta perspectiva sin la fórmula de Riemann. Representación de la transformada de Mellin. a través del cual Riemann fue el primero en desentrañar realmente nuevas propiedades de zeta, en aplicar la fórmula de reflexión de Euler para dar la continuación del contorno de Hankel de zeta desde el semiplano derecho al plano complejo completo, y en desarrollar un algoritmo inteligente para determinar el no -Ceros triviales, entre otras novedades.

Una pista falsa parece ser un esfuerzo miope para forzar una dicotomía artificial entre la interpolación y la continuación analítica. Utilizo el interés y la habilidad de Cotes (y Newton) en la interpolación en el ámbito real (ciertamente relacionado con la aproximación de órbitas celestes) para indicar que estaba predispuesto a hacer continuaciones analíticas. Además, no hay dicotomía. En varias preguntas de MO y MSE, muestro cómo la interpolación está relacionada con la continuación analítica de la función factorial a la función gamma, los números de Bernoulli a la zeta de Riemann, los polinomios de Bernoulli a la zeta de Hurwitz y el cálculo clásico de potencias enteras de la derivada. op a valores complejos no enteros, entre otras interpolaciones / AC (por ejemplo, comience en este MO-Q o este MO-Q ). Estos pueden estar relacionados con interpolaciones de funciones sinc / series cardinales, interpolación de expansión binomial y / o interpolación de Newton y probablemente otras (por ejemplo, este MO-Q ). Algunas asociaciones más sofisticadas están relacionadas con el teorema de Mahler y la referencia en la respuesta a este MO-Q . Un aspecto de los dones de Riemann fue su percepción de cómo esto se relaciona con la transformación de Mellin.

(Para el sesgo de accesibilidad, consulte Khaneman y Tversky).