¿Cuándo tiene corazón una categoría triangulada?
Suponer $\mathcal{T}$es una categoría triangulada. Cuales son las condiciones$\mathcal{T}$debe satisfacer para tener una estructura en t ? Si existe una estructura en t , ¿qué condiciones adicionales garantizarían que$\mathcal{T}$ Cuál es la categoría derivada de su corazón?
Mi pregunta está motivada por la búsqueda en curso de una categoría abeliana de motivos mixtos para los que existen varias construcciones de categorías trianguladas. En este contexto, ¿es el caso que
(1) las condiciones antes mencionadas son cumplidas por una o todas las categorías trianguladas existentes, por lo que la existencia de la categoría abeliana está asegurada y el problema restante es la construcción de una estructura en t , o
(2) no se sabe que las condiciones sean satisfechas por ninguna de las categorías trianguladas existentes, por lo que incluso se desconoce la existencia de una estructura t , o
(3) no se conocen tales condiciones, es decir, la respuesta a mis preguntas en el primer párrafo es "¡no sé!", Al menos en esa generalidad.
Creo, por mi lectura, que la opción (1) no es cierta, pero la he incluido solo para asegurarme. ¡Gracias!
Respuestas
Un comentario tonto es que "trivial" $t$-las estructuras siempre existen. Probablemente deberías decir que quieres un acotado o no degenerado$t$-estructura. Por lo que recuerdo, negativo distinto de cero$K$-grupos de $T$Debería dar una obstrucción para la condición anterior si cree que el corazón es noetheriano o algo así. Tenga en cuenta también que estos grupos para$DM_{gm}$son isomorfos a los de Chow motivos; ver Sosnilo, Vladimir, Teorema del corazón en teoría K negativa para estructuras de peso. Doc. Matemáticas. 24 (2019), 2137–2158.
En cuanto a comparar $DM_{gm}$ con $D^b(MM)$: intente leer (la introducción a?) Positselski, Leonid, motivos mixtos de Artin-Tate con coeficientes finitos. Mosc. Matemáticas. J. 11 (2011), núm. 2, 317–402.