¿Cuántos puntos puede omitir la proyección de una variedad en una línea?

Question

Dejar $V$ ser una subvariedad cerrada de $\mathbb{A}^n$. Dejar$\pi:\mathbb{A}^n\to \mathbb{A}^1$ ser el mapa de proyección que olvida el último $n-1$coordenadas (digamos). Suponga que el cierre de Zariski de$\pi(V)$ es $\mathbb{A}^1$. Luego$\pi(V)$ debe ser de la forma $\mathbb{A}^1\setminus S$, dónde $S$ es un conjunto finito de puntos en $\mathbb{A}^1$. ¿Qué tipo de límite útil podemos dar al número de puntos$|S|$ en $S$?

Estoy buscando un límite de la forma $|S|\leq (\deg V)^D$, dónde $D$ es una función de $n$. Seria muy bueno si$D$ estaban delimitados por un polinomio en $n$. (Creo que ya sé cómo conseguir una$D$.)

Answer 1

Me parece que se puede atar $|S|\leq (n-1) \deg(V)$.

Primero, tenga en cuenta que podemos trabajar proyectivamente, es decir, podremos trabajar con el cierre proyectivo $\overline{V}\subset \mathbb{P}^n$. Al final, los puntos de$\overline{V}\setminus V$ solo contribuirá con un punto en el infinito en $\mathbb{P}^1$, y no contamos ese punto de todos modos. Escribiremos$V$ en vez de $\overline{V}$ de ahora en adelante.

Podemos definir un mapa $\pi_n:\mathbf{P}^n\setminus P_{0,n}\to \mathbf{P}^{n-1}$ por $\pi_n(x_0:x_1:\dotsc:x_n) = (x_0:\dotsc:x_{n-1})$, dónde $P_{0,n}\in \mathbf{P}^n$ es el punto $(0:0:\dotsc:0:*)$. Como se señaló en ¿Cuántos huecos puede tener una proyección de una variedad algebraica? , ya sea (a)$\dim(\overline{\pi_n(V)})=\dim(V)$ y $\pi_n(V)$ contiene $\overline{\pi_n(V)}\setminus W$, dónde $W$ es una variedad de dimensiones $\leq \dim(V)-1$ y grado $\leq \deg(V)$, o (b) $V$ es un cono cuyo vértice contiene $P_{0,n}$, y entonces $\pi_n(V)$ es cerrado y de dimensión $\dim(V)-1$. Claramente$\deg(\overline{\pi_n(V)})\leq \deg(V)$.

Iteramos: definimos $\pi_{n-1}:\mathbf{P}^{n-1}\setminus P_{0,n-1}\to\mathbf{P}^{n-2}$igual que arriba. Si estamos ahora en el caso (a), tenemos$\dim(\overline{\pi_{n-1}(\pi_n(V))})=\dim(\overline{\pi_n(V)})$y $\pi_{n-1}(\pi_n(V))$ contiene $\pi_n(\pi_{n-1}(V))\setminus (W' \cup \overline{\pi_{n-1}(W)})$, dónde $\deg(W')\leq \deg(V)$ y $\dim(W')\leq \dim(\overline{\pi_n(V)})-1$y $W$es como arriba (y está vacío si estuviéramos en el caso (b) antes). Si estamos en el caso (b), entonces no necesitamos eliminar una nueva variedad$W'$, y también notamos que lo que debemos eliminar de $\pi_{n-1}(\overline{\pi_n(V)})$ es la variedad que consta de los puntos de $\pi_{n-1}(W)$ cuya preimagen bajo $\pi_{n-1}$ está contenido en $W$. Esa variedad es vacía o de dimensión$\leq \dim(W)-1$; su grado es presumiblemente$\leq \deg(W)$.

Repetimos más y terminamos.