Dada una ecuación de curvatura, ¿cómo se encuentra la familia de ecuaciones paramétricas que se ajustan?

Question

He visto algunas preguntas y respuestas aquí para casos especiales sobre cómo encontrar las ecuaciones paramétricas para una curvatura determinada. P.ej; Encuentre la ecuación paramétrica de una curva con una curvatura dada . Sin embargo, me temo que no entiendo el proceso general. ¿Alguien podría guiarme a través del proceso?

Me preocupan las ecuaciones paramétricas de la forma

$$\gamma(s)=(x(s),y(s))$$

Por lo tanto, habiendo firmado la curvatura

$$\kappa=\frac{x'y''-y'x''}{(x'^2+y'^2)^\frac{3}{2}}$$

Mi pregunta es

Dada la ecuación para $\kappa(s)$, ¿cómo encuentra la familia de soluciones para $\gamma(s)$?

Supongo que hay una curva única que satisface $\kappa(s)$, aunque la solución final tendrá tres constantes, $x_0$, $y_0$y $\theta$, que codificará una traslación y rotación arbitrarias (o algunos equivalentes) de dicha curva, ya que, intuitivamente, a la curvatura no le importa la traslación o rotación de toda la curva.

Como nota final, simplemente soy un estudiante universitario demasiado optimista y, como tal, solo me he ocupado académicamente de ecuaciones diferenciales de primer orden y solo tengo una curvatura autodidacta. Independientemente, entiendo conceptualmente cada uno. Como tal, agradecería una respuesta aproximadamente a mi nivel de comprensión.

Answer 1

No solo hay una rotación y traslación arbitrarias, sino también una reflexión y parametrización de la curva. Entonces, en primer lugar, tome la parametrización de longitud de arco estándar en la que la definición de la curvatura se convierte en$$\mathbf{t}'(s)=\kappa(s)\mathbf{n}(s)$$ dónde $\mathbf{t}(s)=(x'(s),y'(s))$ es el vector tangente y $\mathbf{n}(s)=(-y'(s),x'(s))$es 'el' vector normal. Este último solo se define hasta un signo, por lo que hay que elegir uno de ellos de forma arbitraria. Esto fija la lateralidad de la curva, es decir, el reflejo.

Por tanto, la ecuación diferencial a resolver es $$\begin{pmatrix}x''(s)\cr y''(s)\end{pmatrix}=\kappa(s)\begin{pmatrix}-y'(s)\cr x'(s))\end{pmatrix}$$ Como ecuación de segundo orden, esto debería dar cuatro constantes de integración, pero existe la restricción de arclength $(x')^2+(y')^2=1$, entonces, de hecho, solo quedan tres constantes: dos para traslaciones y una para rotación.

Answer 2

Como he dicho, "Solo me he ocupado académicamente de ecuaciones diferenciales de primer orden" , por lo que esta respuesta a mi propia pregunta podría estar plagada de fallas, pero esta es (creo) la forma general que estaba buscando. Muchas gracias a Chrystomath por la información.

Si $(x')^2+(y')^2=1$, luego

$$\kappa=x'y''-y'x''$$

También, $(x')^2+(y')^2=1\implies y''=-\frac{x'x''}{y'}$

$$\implies -\kappa y'=x''\implies\kappa^2(y')^2=(x'')^2\implies\kappa^2(1-(x')^2)=(x'')^2$$

Dejar $u=x'$

$$\implies \kappa^2(1-(x')^2)=(x'')^2=\kappa^2(1-u^2)=(u')^2\implies\kappa\sqrt{1-u^2}=\pm u'$$ $$\kappa\sqrt{1-u^2}=\pm \frac{du}{dt}\implies\pm\kappa dt=\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}$$ $$\implies\pm\int\kappa=\sin^{-1}(u)+c_1$$ $$\implies c_1\pm\int\kappa=\sin^{-1}(u)\implies u=\sin(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)$$ $$\implies x'=\sin(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)$$ $$\therefore x=\int\sin(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt$$

Con una lógica similar, sigue

$$y=\int\cos(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt$$

Por lo tanto, se puede encontrar la ecuación paramétrica (intercambiando convencionalmente $\sin$ y $\cos$) ser - estar

$$\gamma(s)=\begin{pmatrix} x_0+\int_0^s\cos(\theta\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt \cr y_0+\int_0^s\sin(\theta\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt\end{pmatrix}$$

He aquí, como lo profetizó Chrystomath: tres constantes (dos para traslación y una para rotación), y las reflexiones (indicadas por $\pm$)!