Dadas iid variables aleatorias $\{X_n\}$con segundo momento finito. Probar $n\cdot P\left(\left|X_{1}\right|\geq\epsilon\sqrt{n}\right)\rightarrow0$

Aug 18 2020

Dadas iid variables aleatorias $\{X_n\}$con segundo momento finito. Como probar$n\cdot P\left(\left|X_{1}\right|\geq\epsilon\sqrt{n}\right)\rightarrow0$?

Probé la desigualdad de Chebyshev:
$$n\cdot P\left(\left|X_{1}\right|\geq\epsilon\sqrt{n}\right)\leq n\frac{Var(X_1)}{\epsilon^2n}=\frac{Var(X_1)}{\epsilon^2}$$pero no funcionó porque solo tenemos un momento finito de segundo orden . ¿Hay desigualdades más delicadas que la desigualdad de Chebyshev?

Respuestas

3 KaviRamaMurthy Aug 18 2020 at 09:09

$nP(|X_1| \geq \epsilon \sqrt n) \leq n\frac { \int_{E_n} |X_1|^{2}dP} {\epsilon n}$ dónde $E_n=(|X_1| \geq \epsilon \sqrt n)$. Utilice el hecho de que$\int_{E_n} |X_1|^{2}dP \to 0$ desde los eventos $\int_{E_n} |X_1|^{2}$ disminuir al conjunto vacío y $E|X_1|^{2} <\infty$.

1 Soumik Aug 18 2020 at 09:17

Probaré el siguiente lema del que se seguirá su respuesta.

Dejar $X$ ser una variable aleatoria de valor real no negativo tal que $\mathbb E(X)<\infty$. Luego$$n \mathbb P[X>n ]\rightarrow 0 \text{ as }n\uparrow \infty$$ Prueba: $\mathbb E(X)=\mathbb E(X\mathbb 1_{X\leq n})+\mathbb E(X\mathbb 1_{X>n })$.

Ya que $X\mathbb 1_{X<n}\uparrow X$ como $n\uparrow \infty$ y todas las variables aleatorias son no negativas, por el Teorema de convergencia monótona tenemos $$\lim_{n\uparrow \infty }\mathbb E(X\mathbb 1_{X<n})=\mathbb E(X)$$Por tanto, se sigue que $$\lim_{n\rightarrow \infty }\mathbb E(X\mathbb 1_{X>n}) =0$$ Ya que $0\leq n\mathbb 1_{X>n}\leq X\mathbb1 _{X>n}$, obtenemos $$0\leq \mathbb E(n\mathbb 1_{X>n})\leq \mathbb E(X\mathbb1 _{X>n})$$ $$\implies 0\leq n \mathbb P[ X>n ] \leq \mathbb E(X\mathbb1 _{X>n})\rightarrow 0 \text{ as }n\rightarrow \infty$$Usa el teorema de sandwich para concluir. Finalmente, en tu problema, mira$Z:=\frac{|X_1 |}{\epsilon}$