Dado un $2\times 2$ matriz $A$, ¿dos valores propios únicos garantizan que $A$ es diagonizable?

Question

Esta pregunta se relaciona con un seminario en el que he estado trabajando, por lo que no deseo revelar toda la pregunta, sino simplemente preguntar cómo se manejaría esto en teoría.

$A = \begin{bmatrix}a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ $Q=(\lambda I - A) = \begin{bmatrix}\lambda - a & -b \\ -c & \lambda - d \end{bmatrix}$

Entonces queremos encontrar los valores propios de $A$, que responde a resolver $\det(Q)=0$. Mi pregunta es, dado que obtendríamos dos valores propios únicos, ¿significa eso que tenemos la garantía de que la matriz$A$es diagonalizable? Solo he encontrado un teorema que dice que si tenemos dos vectores propios distintos para un$2\times 2$ matriz $A$, entonces $A$ es diagonalizable ...

¡La ayuda será muy apreciada!

Answer 1

Si usted tiene $2$ valores propios únicos, significa que su polinomio característico se verá así: $(λ-a)(λ-b)$, dónde $a$ y $b$son sus valores propios.
Ahora bien, una matriz es diagonizable si para cada uno de sus valores propios la multiplicidad algebraica es igual a la multiplicidad geométrica.
En nuestro caso tienes una multiplicidad algebraica de$1$ (para cada valor propio), y por lo tanto su multiplicidad geométrica también es igual a $1$ ($0<\text{geometric multiplicity} \leq \text{algebraic multiplicity}$) por tanto, la matriz es diagonizable.
Entonces para un general$n\times n$ matriz si tienes $n$ valores propios únicos, es diagonizable.

Answer 2

Si $A$ es un $n \times n$ matriz cuyos valores propios son distintos, existen vectores distintos de cero $V_i$, $1 \le i \le n$, con

$AV_i = \mu_i V_i \tag 1$

la $\mu_i$ siendo los distintos valores propios de $A$. Es bien sabido que los vectores propios asociados con valores propios distintos son linealmente independientes; así la matriz

$S = [V_1 \; V_2 \; \ldots \; V_n ] \tag 2$

es no singular y, por tanto, invertible, por lo que existe un $n \times n$ matriz $S^{-1}$ con

$S^{-1}S = SS^{-1} = I; \tag 3$

además,

$AS = [AV_1 \; AV_2 \; \ldots \; AV_n ] = [\mu_1 V_1 \; \mu_2 V_2 \; \ldots \; \mu_n V_n]; \tag 4$

así

$S^{-1}AS = S^{-1} [\mu_1 V_1 \; \mu_2 V_2 \; \ldots \; \mu_n V_n] = [\mu_1 S^{-1} V_1 \; \mu_2 S^{-1} V_2 \; \ldots \; \mu_n S^{-1} V_n]; \tag 5$

ahora de acuerdo con (2) y (3),

$S^{-1}S = S^{-1} [V_1 \; V_2 \; \ldots \; V_n ] = [S^{-1} V_1 \; S^{-1} V_2 \; \ldots \; S^{-1} V_n ] = I, \tag 6$

que muestra que cada $S^{-1} V_i$ es el vector de columna cuyo $i$-th entrada es igual a $1$ con todos los demás elementos $0$; incorporando esta observación en (5) obtenemos

$S^{-1}AS = \text{diag}(\mu_1, \; \mu_2, \; \ldots, \; \mu_n), \tag 7$

y así encontramos que $A$ está diagonalizado por $S$. $OE \Delta$.