¿De cuántas maneras hay de distribuir 6 pasajeros en tres hoteles diferentes?

Aug 20 2020

6 personas quieren ir a 3 hoteles diferentes, de modo que cada hotel puede seleccionar de cero a 6 personas, todos los estados son posibles. Desde el punto de vista del pasajero, sabemos que hay$3^6=729$diferentes maneras de hacer esta tarea. Pero desde la perspectiva de los hoteles, ¿cómo se puede solucionar este problema?

Sabemos que el hotel 1 puede obtener 6 y el hotel 2,3 cero, es decir$(6,0,0)$O hotel 1 5's y hotel 2 1's y hotel 3 nada$(5,1,0)$O hotel 1 3's hotel 2 2's y hotel 3 1's$(3,2,1)$O así sucesivamente. Pero este método de conteo no arroja la respuesta correcta. Gracias de antemano por tu ayuda.

Respuestas

1 quasi Aug 20 2020 at 13:54

Como alternativa a la buena respuesta de Paco Adajar, puedes hacer un análisis de caso usando$7$casos, de la siguiente manera. . .

Que los pasajeros sean identificados por números de cédula$1,2,3,4,5,6$.

Dejar$a,b,c$denote el número de pasajeros que terminan en hoteles$A,B,C$respectivamente.

Dejar$\text{sort}(a,b,c)$denota el triple$(a,b,c)$reordenado en orden ascendente.

Caso$(1)$:$\;\,\text{sort}(a,b,c)=(0,0,6)$.

Para este caso hay$$\binom{3}{1}=3$$maneras desde

  • Existen${\large{\binom{3}{1}}}$formas de elegir el hotel que se lo lleva todo$6$pasajeros

Caso$(2)$:$\;\,\text{sort}(a,b,c)=(0,1,5)$.

Para este caso hay$$\binom{3}{1}\binom{6}{5}\binom{2}{1}=3{\,\cdot\,}6{\,\cdot\,}2=36$$maneras desde

  • Existen${\large{\binom{6}{5}}}$formas de elegir el$5$pasajeros para ese hotel.$\\[4pt]$
  • Una vez hechas las elecciones anteriores, hay${\large{\binom{2}{1}}}$formas de elegir el hotel que toma el resto$1$pasajero.

Caso$(3)$:$\;\,\text{sort}(a,b,c)=(0,2,4)$.

Para este caso hay$$\binom{3}{1}\binom{6}{4}\binom{2}{1}=3{\,\cdot\,}15{\,\cdot\,}2=90$$maneras desde

  • Existen${\large{\binom{3}{1}}}$formas de elegir el hotel que lleva$4$pasajeros$\\[4pt]$
  • Existen${\large{\binom{6}{4}}}$formas de elegir el$4$pasajeros para ese hotel.$\\[4pt]$
  • Una vez hechas las elecciones anteriores, hay${\large{\binom{2}{1}}}$formas de elegir el hotel que toma el resto$2$pasajeros

Caso$(4)$:$\;\,\text{sort}(a,b,c)=(0,3,3)$.

Para este caso hay$$\binom{3}{1}\binom{5}{2}\binom{2}{1}=3{\,\cdot\,}10{\,\cdot\,}2=60$$maneras desde

  • Existen${\large{\binom{3}{1}}}$formas de elegir el hotel que lleva al pasajero #$1$más$2$otros pasajeros.$\\[4pt]$
  • Existen${\large{\binom{5}{2}}}$formas de elegir el$2$otros pasajeros para ese hotel.$\\[4pt]$
  • Una vez hechas las elecciones anteriores, hay${\large{\binom{2}{1}}}$maneras de elegir el hotel que toma el$3$pasajeros restantes.

Caso$(5)$:$\;\,\text{sort}(a,b,c)=(1,1,4)$.

Para este caso hay$$\binom{3}{1}\binom{6}{4}\binom{2}{1}=3{\,\cdot\,}15{\,\cdot\,}2=90$$maneras desde

  • Existen${\large{\binom{3}{1}}}$formas de elegir el hotel que lleva$4$pasajeros$\\[4pt]$
  • Existen${\large{\binom{6}{4}}}$formas de elegir el$4$pasajeros para ese hotel.$\\[4pt]$
  • Una vez hechas las elecciones anteriores, hay${\large{\binom{2}{1}}}$formas de elegir el hotel que lleva al pasajero con menor número de identificación de la$2$pasajeros restantes.

Caso$(6)$:$\;\,\text{sort}(a,b,c)=(1,2,3)$.

Para este caso hay$$\binom{3}{1}\binom{6}{3}\binom{2}{1}\binom{3}{2}=3{\,\cdot\,}20{\,\cdot\,}2{\,\cdot\,}3=360$$maneras desde

  • Existen${\large{\binom{3}{1}}}$formas de elegir el hotel que lleva$3$pasajeros$\\[4pt]$
  • Existen${\large{\binom{6}{3}}}$formas de elegir el$3$pasajeros para ese hotel.$\\[4pt]$
  • Una vez hechas las elecciones anteriores, hay${\large{\binom{2}{1}}}$maneras de elegir el otro hotel que lleva$2$pasajeros$\\[4pt]$
  • Existen${\large{\binom{3}{2}}}$formas de elegir el$2$pasajeros para ese hotel.

Caso$(7)$:$\;\,\text{sort}(a,b,c)=(2,2,2)$.

Para este caso hay$$\binom{3}{1}\binom{5}{1}\binom{2}{1}\binom{3}{1}=3{\,\cdot\,}5{\,\cdot\,}2{\,\cdot\,}3=90$$maneras desde

  • Existen${\large{\binom{3}{1}}}$formas de elegir el hotel que lleva al pasajero #$1$más$1$otro pasajero.$\\[4pt]$
  • Existen${\large{\binom{5}{1}}}$formas de elegir el$1$otro pasajero para ese hotel.$\\[4pt]$
  • Una vez hechas las elecciones anteriores, hay${\large{\binom{2}{1}}}$formas de elegir el hotel que lleva al pasajero con menor número de identificación de los restantes$4$pasajeros más$1$otro pasajero.$\\[4pt]$
  • Existen${\large{\binom{3}{1}}}$formas de elegir el$1$otro pasajero para ese hotel.

Sumando los conteos para el$7$casos da un recuento total de$$ 3+36+90+60+90+360+90=729 $$como se esperaba.

1 PacoAdajar Aug 20 2020 at 11:17

Sean los tres hoteles A, B, C. Supongamos que el hotel A obtiene$m$pasajeros con$0 \le m \le 6$. Existen$\binom{6}{m}$maneras de que esto suceda. Entonces el hotel B tiene que conseguir$n$de los restantes$6 - m$pasajeros Existen$\binom{6 - m}{n}$formas de hacerlo. Por defecto, el hotel C recibe el resto$6 - m - n$pasajeros

Por lo tanto, el número total de formas en que los hoteles pueden hacer esto está dado por$$ \begin{align*} \sum_{m=0}^6\sum_{n=0}^{6-m}\binom{6}{m}\binom{6 - m}{n} &= \sum_{m=0}^6\binom{6}{m}\sum_{n=0}^{6-m}\binom{6 - m}{n} \\ &= \sum_{m=0}^6 \binom{6}{m}2^{6 - m} = (1 + 2)^6 = 729 \end{align*} $$como se dio anteriormente.

awkward Aug 20 2020 at 21:57

El número de formas de elegir$a$gente para el primer hotel,$b$para el segundo hotel, y$c$para el tercer hotel, con$a+b+c=6$, es el coeficiente multinomial$$\binom{6}{a,b,c}= \frac{6!}{a! b! c!}$$por lo que el número total de arreglos posibles es$$\sum_{a+b+c = 6} \binom{6}{a,b,c}$$donde la suma es sobre todos los triples enteros$(a,b,c)$con$a+b+c = 6$y$a,b,c \ge 0$. Podríamos resolver esto, pero hay un atajo.

Por el teorema multinomial,$$(x+y+z)^6 = \sum_{a+b+c = 6} \binom{6}{a,b,c} x^a y^b z^c$$donde, como antes, la suma es sobre todos los triples enteros$(a,b,c)$con$a+b+c = 6$y$a,b,c \ge 0$. Ahora deja$x=y=z=1$, y tenemos$$3^6 = \sum_{a+b+c = 6} \binom{6}{a,b,c}$$que reproduce la respuesta anterior de$3^6 = 729$.