Definición de conectividad y su intuición

Aug 15 2020

Decimos un espacio topológico $X$estar conectado si no se puede escribir como unión disjunta de dos subconjuntos abiertos no vacíos. La conectividad intuitiva significa que nuestro espacio topológico es una sola pieza. No puedo ver cómo la definición anterior captura la intuición. Por favor ayuda.

Respuestas

7 HennoBrandsma Aug 15 2020 at 19:52

Si por supuesto algún espacio $X$ tener dos o más puntos se puede escribir como $A \cup B$, con $A,B$disjuntos y no vacíos, de muchas maneras. Pero estar desconectado significa que hay una manera de hacerlo de tal manera que no tiene sentido$A$ esta cerca de" $B$ y no tiene sentido $B$ esta cerca de" $A$. Estar cerca de se formaliza en topología al estar en el cierre. Así que llama a un espacio$X$ desconectado cuando podemos escribirlo como $A \cup B$, ambos conjuntos no vacíos y tales que $\overline{A} \cap B = \emptyset$ (no tiene sentido $B$ esta cerca de $A$) y $A \cap \overline{B} = \emptyset$ (no tiene sentido $A$ esta cerca de $B$). Pero esto implica que$$X\setminus B= A \subseteq \overline{A} \subseteq X\setminus B$$ tan en particular $A=\overline{A}$ y $A$está cerrado. Simétricamente,$B$ está cerrado también, y como $A$ y $B$ son el complemento del otro, $A$ y $B$ están abiertos también (que también puede ver de la siguiente manera, por ejemplo, si $x \in A$ no eran un punto interior de $A$, cada barrio de $x$ contendría no$A$ puntos, entonces puntos de $B$, como $A\cup B=X$. Y si cada barrio de$x$ se cruza $B$, $x \in \overline{B}$, pero asumimos que no tenía sentido $x$ de $A$ estaba cerca de $B$...)

Entonces estamos en la definición de la pregunta, llamando a un espacio que no está desconectado en este sentido, "conectado". De hecho, es equivalente a preguntar en la definición de desconexión por partes simultáneamente abiertas, partes simultáneamente cerradas o partes "separadas" (como la primera definición).

3 Vercassivelaunos Aug 15 2020 at 19:32

Si corta un conjunto conectado en dos piezas, en el lugar del corte, una de las dos piezas estará "abierta", mientras que la otra estará "cerrada". Por ejemplo, si corta la línea real en dos partes en el punto$a\in\mathbb R$, obtendrás dos piezas $(-\infty,a],(a,\infty)$o $(-\infty,a),[a,\infty)$. Al menos uno de ellos tiene un límite cerrado en$a$. Los puntos que pertenecen al corte deben incluirse en una de las dos piezas, y esa pieza tendrá el punto de corte como punto límite. Del mismo modo para espacios más complicados: la línea por la que cortamos tiene que repartirse entre las dos piezas, dándoles un límite, haciendo que no se abran.

Por supuesto, no necesitamos cortar a lo largo de una línea / plano / lo que sea, pero es el caso donde la intuición es más clara de inmediato.