Definición inusual de Cantor set

Question

He visto múltiples definiciones de conjuntos de cantor, pero todas se ven diferentes a las mías. Mi libro define un conjunto de cantor como:

El conjunto de todos los números reales de la forma $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}3^{-n}$ dónde $a_{n}$ toma uno u otro de los valores $0$ o $2$.

¿Cómo es esto un set? No entiendo lo que quieren decir con "dónde$a_{n}$ toma uno u otro de los valores $0$ o $2$"¿significa que $a_{n}$ alternativo como $0$, $2$, $0$, $2$? ¿Podrían darme algunos valores en este set? ¿Y qué tiene que ver con esta imagen que veo por todas partes?

Answer 1

Tu libro significa que el conjunto cantor es el conjunto de números $x$ que se pueden escribir en la forma $\sum_{n=1}^{\infty}a_n3^{-n}$ por alguna secuencia $a_n$ donde cada $a_n$ es cualquiera $0$ o $2$. Un poco menos densamente, podría decir:

• Un número en $[0,1]$ está en el conjunto de Cantor si se puede escribir como el doble de la suma de los distintos poderes de $3$.

• Un número $x$ en $[0,1]$ está en el conjunto de Cantor si tiene una expansión ternaria que nunca usa un $1$. (Esto es lo mismo que el anterior, teniendo en cuenta que las expansiones ternarias son simplemente "escribe un punto decimal y luego un montón de números$\{0,1,2\}$ y considere la suma de los $n^{th}$ tiempos de término $3^{-n}$ en general $n$")

Lo particular $x$ dónde $a_n$ alterna entre $0$ y $2$ está, por tanto, en el conjunto de Cantor (este $x$ igualando $1/4$), pero hay incontables otras secuencias $a_n$ cuyos únicos valores son $0$ y $2$, todos los cuales producen distintos elementos del conjunto de Cantor.

La imagen que muestra muestra cómo se construye el mismo conjunto tomando un intervalo y eliminando repetidamente el tercio medio de cada intervalo. Esto produce una secuencia de conjuntos que se hacen cada vez más pequeños, y la intersección de todos esos conjuntos es el conjunto cantor, y es exactamente el mismo conjunto que define su libro. La equivalencia es más clara en expansiones ternarias:

Al principio, tienes el intervalo $[0,1]$. Luego eliminas el intervalo$(1/3,2/3)$ porque el primer término de su expansión ternaria debe ser $.1\ldots_3$, lo que significa que no se pueden escribir en la forma deseada. Entonces, quitas$(1/9,2/9)$ y $(7/9,8/9)$ cuyas expansiones ternarias comienzan $.01\ldots_3$ y $.21\ldots_3$ porque, si bien su primer dígito está bien (siendo $0$ o $2$), su segundo dígito no lo es. Luego, eliminaría los números cuyas expansiones ternarias comienzan$.001\ldots_3$ o $.021\ldots_3$ o $.201\ldots_3$ o $.221\ldots_3$ y así sucesivamente, y los únicos números que quedan al final serían los que se pueden escribir con una expansión ternaria que solo contenga $0$y $2$'s - que es exactamente el conjunto de números que se pueden escribir en la forma que propone su libro.