Deja que el círculo toque$AB$y$AC$a$F$y$E$. Dejar$C \cap FE=L$y$BI \cap EF= N$. Muestra esa$B,L,N,C$es cíclico.

Question

Dejar$ABC$Sea un triángulo con I como el incentro y deje que el incircunferencia toque$AB$y$AC$a$F$y$E$. Dejar$C\cap FE=L$y$BI\cap EF= N$. Muestra esa$B,L,N,C$es cíclico.

Ahora, no tengo ningún progreso significativo, pero aquí están mis observaciones:

• $BLNC$es cíclico, acostado en el círculo con diámetro$ BC$
• $FLIB$y$NIEC$también son cíclicos.

Creo que esta pregunta es fácilmente criticable, pero quiero obtener una prueba sintética.

Gracias por adelantado !

Answer 1

Reclamar. $\angle BLI=90$

Prueba de reclamación. Es suficiente para mostrar$BFLI$es cíclico donde$D=\odot(I)\cap BC$. Para esto, tenga en cuenta que$$\angle LDB=\pi - \angle LDC=\pi - \angle LEC=\angle AEF=\angle AFE$$De este modo,$BFLI$es cíclico. Esto completa la prueba de reclamación.

Del mismo modo, obtenemos,$\angle BLC=90=\angle BNC$asi que$BLNC$es cíclico con$BC$como diámetro.

Answer 2

Sabiendo cómo probar eso$FLIB$y$NIEC$son cíclicos estás más que a medio camino resuelto.

tienes que probar$\angle LBN=\angle LCN$(después$BLNC$es cíclico).
Pero$\angle LBI=\angle LFI$ya que$BFLI$es cíclico, de
manera similar$\angle ICN=\angle IEN$ya que$NIEC$es cíclico.

Así que tienes que demostrar$\angle IFE=\angle IEF$pero es cierto desde$\triangle IEF$es isósceles --$IF=IE$son radios interiores.