Dejar $A$ ser un escenario denso y abierto $\mathbb R^n$. Pruebalo $A + A = \mathbb R^n$

Question

No tengo ni idea de cómo hacerlo. Lo que estoy tratando de demostrar es que dado algunos$x$ en $\mathbb R^n$ tiene que haber algo $y$ tal que ambos $\frac x 2 + y$ y $\frac x 2 - y$ ambos están en A.

Pero no tengo ni idea de cómo continuar. Solo se agradecen las pistas

Answer 1

Si $A$ es un conjunto abierto denso, entonces $A-\frac x2$ y $\frac x2-A$son conjuntos abiertos densos, por lo que su intersección es un conjunto abierto denso y, en particular, no está vacío. Elige un punto$y\in(A-\frac x2)\cap(\frac x2-A)$; entonces$\frac x2+y\in A$ y $\frac x2-y\in A$, entonces $x=(\frac x2+y)+(\frac x2-y)\in A+A$.

De manera más general, si$A$ es un juego abierto no vacío en $\mathbb R^n$ y $B$ es un subconjunto denso de $\mathbb R^n$, entonces $A+B=\mathbb R^n$.

Prueba. Considere cualquier punto$t\in\mathbb R^n$; tenemos que demostrar que$t\in A+B$.

Desde el mapeo $x\mapsto t-x$ es un homeomorfismo, $t-A$es un conjunto abierto no vacío. Ya que$B$ es denso, $B\cap(t-A)\ne\emptyset$. Elige un punto$b\in B\cap(t-A)$. Entonces$b\in B$y $b=t-a$ para algunos $a\in A$, entonces $t=a+b\in A+B$.