Demostrando que $x^2$ no es uniformemente continuo

Aug 19 2020

Lo sabemos $f(x)=x^2$ no es uniformemente continuo en función $f:\mathbb{R}\rightarrow[0,\infty)$. De hecho, deja$\epsilon=1$. Para cualquier$\delta>0$, podemos elegir $\alpha>0$ lo suficientemente grande para que $\alpha\delta+\delta^2/4\geq \epsilon$. Entonces si ponemos$$x=\alpha$$ $$y=\alpha+\frac{\delta}{2}$$ encontramos $|x-y|<\delta$, todavía $|f(x)-f(y)|\geq\epsilon$. Por lo tanto, la$\epsilon-\delta$ se niega la definición de continuidad uniforme y que $f$ no es uniformemente continuo.

Ahora si $X\subset\mathbb{R}$ es cualquier conjunto ilimitado abierto, ¿cómo demostramos que $f:X\rightarrow [0,\infty)$no es uniformemente continuo? Intenté seguir un procedimiento similar al anterior, pero no funcionó. La dificultad que tengo es que no puedo asegurarme de que$y=\alpha+\delta/2\in X$, porque $X$ podría ser un conjunto abierto ilimitado con intervalos abiertos más estrechos como $x$ aumenta, por ejemplo $$X=\bigcup_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n},\sqrt{n}+\frac{1}{n}).$$

Dado lo anterior, ¿hay alguna manera de modificar la prueba anterior para el $f:X\rightarrow [0,\infty)$¿caso? No me interesa simplemente que me den una prueba, pero quería saber cómo podría modificarse mi prueba, o si simplemente no podría modificarse en este caso.

Respuestas

4 StephenMontgomery-Smith Aug 19 2020 at 11:04

No es verdad. Considerar$X = \bigcup_n (n,n+\tfrac1{n^2})$. Note si$x,y \in (n,n+\tfrac1{n^2})$, luego $$ |f(x) - f(y)| \le |f(n+\tfrac1{n^2}) - f(n)| = \tfrac2n + \tfrac1{n^2} \le \tfrac3n .$$ Dado $\epsilon > 0$, escoger $N > \frac3\epsilon$. Si$x,y \in \bigcup_{n\ge N} (n,\frac1{n^2})$y $|x-y| < \tfrac12$, luego $|f(x) - f(y)| < \epsilon$. Y desde$f(x)$ es uniformemente continuo en $[0,N+1]$, podemos encontrar $\delta > 0$ y $\delta < \tfrac12$ tal que si $x,y \in [0,N+1]$, luego $|x-y| < \delta$ implica $|f(x) - f(y) < \epsilon$.