Demostrar el límite usando la definición de un límite

Question

Aquí está la pregunta (proporcionada para el contexto) acerca de probar un límite usando la definición de un límite:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \left({x^2} + x - 11\right) = 9$

Entonces empecemos. Dejar$\varepsilon > 0$ sea ​​cualquier número, entonces necesitamos encontrar un número $\delta > 0$ para que lo siguiente sea cierto.

$\left| {\left( {{x^2} + x - 11} \right) - 9} \right| < \varepsilon \hspace{0.5in}{\mbox{whenever}}\hspace{0.5in}0 < \left| {x - 4} \right| < \delta$

simplificando un poco

$\left| {\left( {{x^2} + x - 11} \right) - 9} \right| = \left| {{x^2} + x - 20} \right| = \left| {\left( {x + 5} \right)\left( {x - 4} \right)} \right| = \left| {x + 5} \right|\left| {x - 4} \right| < \varepsilon$

si, por casualidad, podemos demostrar que $\left| {x + 5} \right| < K$ por algún número $K$ entonces, tendremos lo siguiente

$\left| {x + 5} \right|\left| {x - 4} \right| < K\left| {x - 4} \right|$

Si ahora asumimos que lo que realmente queremos mostrar es $K\left| {x - 4} \right| < \varepsilon$ en lugar de $\left| {x + 5} \right|\left| {x - 4} \right| < \varepsilon$ obtenemos lo siguiente,

$\left| {x - 4} \right| < \frac{\varepsilon }{K}$

Todo esto se basa en el supuesto de que podemos mostrar $\left| {x + 5} \right| < K$ para algunos $K$. Para hacer esto asumimos que cualquier$x$ ¿Debe estar cerca de $x=4$ya que estamos trabajando con un límite. Así que supongamos que$x$ está a una distancia de uno de $x=4$. En términos de desigualdad podemos asumir

$\left| {x - 4} \right| < 1$

Empezando por eliminar las barras de valor absoluto tenemos

$- 1 < x - 4 < 1\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}3 < x < 5$

Si ahora sumamos 5 a todas las partes de esta desigualdad obtenemos,

$8 < x + 5 < 10$

Ahora, desde $x + 5 > 8 > 0$ (la parte positiva es importante aquí) podemos decir que, siempre que $\left| {x - 4} \right| < 1$ lo sabemos $x + 5 = \left| {x + 5} \right|$. O, si toma la doble desigualdad anterior que tenemos,

$8 < x + 5 = \left| {x + 5} \right| < 10$ $\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\,\,\left| {x + 5} \right| < 10\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}K = 10$

Entonces, siempre $\left| {x - 4} \right| < 1$ Podemos ver eso $\left| {x + 5} \right| < 10$ que a su vez nos da,

$\left| {x - 4} \right| < \frac{\varepsilon }{K} = \frac{\varepsilon }{{10}}$

fuente

¿Cómo salimos de esta doble desigualdad? $8 < x + 5 < 10$ a esto $8 < x + 5 = \left| {x + 5} \right| < 10$. Por lo que entiendo$|{x + 5}| < 10 $ también se puede escribir como $-10<x + 5<10$, luego la declaración de los autores:

$8 < x + 5 = \left| {x + 5} \right| < 10$

no debería ser cierto ya que excluye una parte del intervalo que $|{x + 5}| < 10 $ incluye (el intervalo que se puede ver cuando la desigualdad de valor absoluto se expande en una desigualdad doble, es decir $-10<x + 5<10$)

Answer 1

Estás trabajando con la suposición $|x-4|<1$, eso significa $3<x<5$. Entonces$x+5=|x+5|$ porque $x+5$ siempre es positivo cuando $x \in (3,5)$.

Answer 2

Tienes $$ |x+5|=|x-4+9|\leq|x-4|+9\leq\delta+9 $$ entonces $$ |x-4||x+5|\leq\delta(\delta+9)<\varepsilon $$ y puedes ver que puedes elegir $$ 0<\delta<\frac{9}{2} \left(\sqrt{1+\frac{4\varepsilon}{81}}-1\right). $$